algebra

I

BLOQUE I
ÁLGEBRA

Página 122
1

Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° x + 3y = 5
§
a) ¢ 2x – y = 3
§
£ x+ y=2

° y + z – 2x = 0
§
b) ¢ x + z – 2y = 0
§
£ x + y – 2z = 0

Resolución
x + 3y = 5 °
§
a) 2x – y = 3 ¢ Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones 2.a y 3.a:
§
x + y = 2£
2x – y = 3 ° 3x = 5 8 x = 5/3
¢
x + y = 2 £ y = 2 – xÄÄÄ8 y = 1/3
Comprobamos si

( )
5 1
,
3 3

verifica la 1.a ecuación:

5
1
+3· ?5
3
3
El sistema no tiene solución. Representa tres rectas que se cortan dos a dos.
y + z – 2x = 0 °
x – 2y + z = 0
°
§
§
x + z – 2y = 0 ¢ Ordenamos las incógnitas y las ecuaciones: ¢
x + y – 2z = 0
b)
§
§
x + y – 2z = 0 £
£ –2x + y + z = 0
Para resolverlo, aplicamos el método de Gauss:

(1 –2 1
1 1 –2
–2 1 1

0
0
0

)

FILAS

(1.ª)
(2.ª) – (1.a)
(3.a) + 2 · (1.a)

(

1 –2 1
0 3 –3
0 –3 3

0
0
0

)

FILAS

(1.ª)
(2.ª)
(3.a) + (2.a)

(

1 –2 1
0 3 –3
0 0 0

0
0
0

)

El sistema es compatible indeterminado.
x – 2y + z = 0 °
x = –l + 2l = l
° x – 2y = –z
8
¢ 8 ¢
3y – 3z = 0 £
y= z
y=l
£
Soluciones: (l, l, l)

Bloque I. Álgebra1

2

Comprueba que el siguiente sistema es compatible determinado y halla su
solución.
° –x + y + z = 1
§
4y + 3z = 2
§
¢
=1
§ x + 2y
§
x + 3y + 2z = 1
£
Resolución
Si el sistema es compatible determinado, debe verificarse que ran (M) = ran (M') = 3,
según el teorema de Rouché. Como M' es una matriz cuadrada de orden 4, su
determinante debe ser igual a 0.

|

–1
0
|M' | =
1
1

1
4
2
3

|

1
3
0
2

1
2
=
1
1

FILAS

|

(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)
(4.ª) + (1.ª)

–1
0
0
0

1
4
3
4

1
3
1
3

1
2
2
2

|

= 0 porque la 2.a y 4.a filas
son iguales.

Podemos eliminar la última ecuación y resolverlo por la regla de Cramer:
–x + y + z = 1 °
§
4y + 3z = 2 ¢
§
x + 2y
= 1£

x=

§

1
2
1

1
4
2
51
3
0

(

Solución: –

3

§

|

=–

3 4
2
, ,–
5 5
5

|

–1 1
0 4
1 2

3
; y=
5

§

1
3 =5
0

–1 1
0 2
1 1
5

1
3
0

§

=

4
; z=
5

§

–1 1
0 4
1 2
5

1
2
1

§

=–

2
5

)

Sean las matrices:
A=
E=

()
(

() ()

3
1
1
, B = (x m ), C =
, D=
1
5
9

–y + 2m + 2
–2x – my + 5

)

a) Si (AB)(2C – D ) = E,plantea un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
(x e y ) en función de m.
b) ¿Para qué valores de m tiene el sistema solución? Resuélvelo.
Resolución
a) (AB ) (2C – D ) = E
A·B=

2

()

(

3
3x 3m
· (x m ) =
1
x m

)
Bloque I. Álgebra

BLOQUE

2C – D =

( ) () ()
( )( ) (

I

2
1
1
–
=
10
9
1

3x 3m
x m

(AB ) (2C – D ) = E 8

1
–y + 2m + 2
=
1–2x – my + 5

)

3x + 3m = –y + 2m + 2 °
3x + y = 2 – m °
¢ 8
¢
x + m = –2x – my + 5 £
3x + my = 5 – m £
b) El sistema tendrá solución si ran (M ) = ran (M' ), siendo:
M=

(

3
3

1
m

)

M' =

(

3
3

1
m

2–m
5–m

)

Buscamos los valores de m que hacen | M | = 0:
3m – 3 = 0 8 m = 1
• Si m ? 1, ran (M ) = ran (M' ) = 2 = n.° de incógnitas.
El sistema escompatible determinado.
• Si m = 1, M =

M' =

(

3
3

1
1

(

3
3

1
4

) |

1
1
8

)

y ran (M ) = 1.

1
1

|

1
? 0, ran (M' ) = 2
4

El sistema es incompatible.
• Resolución:
3x + y = 2 – m °
¢ Restamos ambas ecuaciones:
3x + my = 5 – m £
y – my = 2 – m – 5 + m 8 y (1 – m) = –3 8 y =

–3
1–m

Sustituimos en la primera ecuación:
3x –

BloqueI. Álgebra

m 2 – 3m + 5
3
3
= 2 – m 8 3x = 2 – m +
8 x=
3(1 – m)
1–m
1–m

3

4

a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación y halla su valor:
2A – AX = BX, siendo A =

( )

( )

2 1
1 –1
y B=
.
3 2
0 2

( )

0 –1 0
b) Dada la matriz A = 1 0 0 , calcula A12 + A–1.
0 0 1
Resolución
a) 2A – AX = BX 8 2A = BX + AX 8 2A = (B + A)X 8
8 (B + A)–1 · 2A = (B +...