Algebra

Capítulo I

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS

INTRODUCCION.


Las fórmulas matemáticas pueden compararse con piezas de maquinaria que trabajan sobre materias primas para obtener de éstas, productos acabados. En este caso, tales materias primas proceden de los problemas que nos presenta el mundo físico, usualmente en forma de números. Los productos acabados son las soluciones a los problemas.Los números que se emplean para este objeto son elementos de ciertos conjuntos de números designados como sistemas numéricos. Las propiedades de estos conjuntos son las de las materias primas. Por lo tanto es natural que se comience este estudio con un examen amplio de las propiedades de los sistemas numéricos.

Las fórmulas son entramados matemáticos en que entran símbolos literales secolocan o disponen las materias primas en las piezas de esta maquinaria matemática y se reemplazan los símbolos de números. Luego las fórmulas constan de letras y símbolos matemáticos relacionados entre sí, más bien que de números particulares.



Claro está que es solamente mediante el uso de letras para representar números no especificados que se pueden obtener resultados de algún significadogeneral.
Al usar letras como símbolos es conveniente elegirlas de manera que sugiera cierto orden (a, b, c,…….).
Algunas veces es conveniente usar varios conjuntos de letras para denotar ternas de números relacionados de cierta manera. [(a, b, c), (A, B, C) (].

Muchas proposiciones o enunciados de resultados matemáticos contiene la frase “si” y solo si. Tales proposiciones constan realmente dedos partes distintas, y expresan una conclusión, es decir, una consecuencia, es válida si y solamente si, una hipótesis, o sea, una suposición, es verdadera. Esto significa, primero, que si se hizo la suposición, la conclusión será válida y significa al decir que la suposición es una condición suficiente. También expresa que la conclusión no puede ser válida, sin ser verdadera la hipótesis, porlo que esta es una condición necesaria. Luego las dos partes de la proposición, hipótesis y conclusión, pueden llamarse condiciones equivalentes.

En estos apuntes, se harán muchas cosas con los números reales, sumarlos, multiplicarlos, comparar sus magnitudes, etc. Para asegurarse que puede hacerse con ellos y que no, se presentan algunas suposiciones básicas de los reales a lo largo delcapítulo, así como algunas reglas que son consecuencia de estas suposiciones.
Origen del Álgebra
Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos detablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática. Un examen cuidadoso de las tablillas babilónicas muestra claramente que mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y quelo hacían para desarrollar técnicas de solución y ejercitarse en su aplicación.

En cuanto que, hasta la mitad del siglo XIX, el álgebra se ocupó principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse que fue en Babilonia donde tuvo su origen esta ciencia.

Fueron los árabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre: aljabr. La nuevacivilización que surgió en la península arábiga en la primera mitad del siglo VII, habría de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de un siglo después de la captura de La Meca por Mahoma en el año 630 d.C., el ejército islámico había convertido a las tribus politeístas del Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de Siria y Egipto. La...