algebra

´
NOTAS DE ALGEBRA I
˜
AUTOR: ARIEL PACETTI. RETOQUES: MAT´
IAS GRANA

1.
1.1.

Conjuntos, relaciones y funciones

Conjuntos.

Definici´n. Un conjunto A es una colecci´n de objetos tales que, dado un objeto
o
o
cualquiera v, se puede determinar si v pertenece a A o no.
Ejemplos. Algunos ejemplos f´ciles de conjuntos:
a
1. A = {1, 2, 3}.
2. A = { , △, }.
3. A = ∅ = {} es elconjunto vac´ que no tiene ning´n elemento.
ıo,
u
4. A = {n´meros enteros}.
u
Si A es un conjunto y v es un elemento cualquiera, notamos v ∈ A si v pertenece
al conjunto A y v ∈ A si el elemento v no pertenece al conjunto A.
Definici´n. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que A es un subo
conjunto de B o que A est´ contenido, o incluido, en B (y escribimos A ⊂ B) si
a
todoelemento v ∈ A satisface que v ∈ B.
Muchas veces es util tener en claro qu´ quiere decir que un conjunto no est´ in´
e
e
cluido en otro. Lo contrario de “todo elemento de A est´ en B” es “existe al menos
a
un elemento en A que no est´ en B”. Esto es, para probar que A ⊂ A, es necesario
a
encontrar (o probar que existe) un elemento x ∈ A tal que x ∈ B.
/
Ejercicios. Decidir si son ciertas lassiguientes afirmaciones y en caso afirmativo
demostrarlas:
1. {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}.
2. {1, 2, 3} ⊂ {{1}, 2, 3, 4}.
3. ∅ ⊂ {1, {1}}.
¿C´mo podemos explicitar un conjunto A? Hasta aqu´ conocemos una unica
o
ı
´
manera: listando todos sus elementos. ¿C´mo podemos explicitar un conjunto de
o
otra manera? La respuesta es por comprensi´n. Esto es, dando alguna propiedad
o
que cumplen loselementos que est´n en el conjunto y no cumplen los elementos
a
que no est´n en el conjunto. Un primer ejemplo (que presenta problemas) es B =
a
{n : n es par}. Este ejemplo tiene el problema de que no se dice qu´ n´meros se
e u
consideran. Todos entendemos que 2 ∈ B. Pero ¿−2 ∈ B? Cuando se escribe n
en la definici´n de B, se consideran tambi´n n´meros negativos? ¿Y otro tipo de
o
e
un´meros? La soluci´n a este problema es decir precisamente a qu´ tipo de elementos
u
o
e
nos referimos cuando decimos “n es par”. La forma correcta entonces de definir este
conjunto es B = {n ∈ N : n es par} (si es que queremos trabajar solo con n´meros
u
positivos), o B = {n ∈ Z : n es par} (si es que queremos trabajar tambi´n con
e
n´meros negativos).
u
1

2

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AUTOR: ARIEL PACETTI.RETOQUES: MAT´
IAS GRANA

Un ejemplo cl´sico que muestra la necesidad de especificar el conjunto de los
a
objetos sobre los que miramos la propiedad es la paradoja de Russell y Zermelo
(1901), sea A = {B : B ∈ B}. ¿Es cierto que A ∈ A?
Ejemplos de conjuntos definidos por comprensi´n son
o
2
A= x∈R : x r porque el caso n ≤ r ya lo vimos. Pero
entonces f (n) = G(n, f (n − 1), . . . , f (n −r)), por lo que f est´ definida en
a
n y luego n ∈ P.
La unicidad se ve de manera similar: si f, g son dos funciones que satisfacen las
hip´tesis, queremos ver que toman los mismos valores. Es claro para los primeros
o
r n´meros. Supongamos que f (i) = g(i) para 1 ≤ k < n, entonces
u
f (n) = G(n, f (n − 1), . . . , f (n − r)) = G(n, g(n − 1), . . . , g(n − r) = g(n).

Dar una sucesi´n demanera recursiva tiene sus ventajas y sus desventajas. En
o
algunos ejemplos es m´s r´pido calcular el valor de la funci´n en n de manera
a a
o
recursiva que de manera expl´
ıcita (por ejemplo n!) mientras que en otros ejemplos
es lo contrario (por ejemplo f (n) = n(n + 1)/2 = n + f (n − 1)). En muchas casos la
f´rmula recursiva permite probar ciertas propiedades de la sucesi´n que no se veno
o
tan claramente en una f´rmula expl´
o
ıcita. Por eso es bueno tener las dos definiciones.
Consideremos el siguiente problema (llamado el problema de Torres de Hanoi e
inventado por Edouard Lucas en 1883): Supongamos que tenemos tres postes, y un
n´mero N de discos de distinto tama˜o. Comenzamos con todos los discos en el
u
n
poste de la izquierda, ordenados por tama˜o, con el m´s...