Algebra

1.5 ECUACIONES RACIONALES
Una ecuación racional se representa de la forma (p(x))/(q(x)) , donde p(x) y q(x) son polinomios, pero q(x) no es el polinomio nulo.
Raíz de una expresión racional: Un numero a se dice que es una raíz de una expresión racional (p(x))/(q(x)) si p (a) = 0 y q (a) ≠ 0. Es decir, son los ceros del polinomio numerador que no anulan al polinomio denominador. Por ejemplo:X = 0 es raíz de la expresión racional A(x)= 5x/(x-4), puesto que, 0 es raíz del numerador y no anula al denominador.
X = 3 no es raíz de la expresión A(x)=(x-3)^2/(x-3) aunque anule al numerador, ya que también anula al denominador.
Resolver una ecuación racional equivale a encontrar las raíces de la expresión racional asociada; observa que el ejemplo 2 se puede simplificar para encontraruna expresión equivale a la cual si se le puede encontrar una raíz.
A(x)=( (x-3)^2)/(x-3)= x-3, entonces obtenemos B x = x-3, sin embargo ((x-3)^2)/(x-3)=0 y x-3 =0 no tienen las mismas raíces. Como ejemplo analicemos las siguientes ecuaciones.
(x^2-9)/(4x^3 )=0 (9-x^2)/(x^3-27)=0
1.- x^2 -9 =0 igualar el numero a cero x^2=9

2.- √(x^2 ) = √9 = ±3 Encontrar las raíces x_1=〖3,x〗_2=-3

3.-4(-3)3 =4(-27)= -108 evaluar las raíces en el denominador.

4.- Como ambos casos son diferentes de cero deducimos que x_1=〖3,x〗_2= -3, si son raíces de la ecuación original. 1.- 9- X2 =0 igualar el numerador a cero x2 =9.

2.-√(x^2 ) = √9 =±3 Encontrar las raíces
x1 = 3, X2=-3
3.-(-3)3-27 = -27-27=-54
(3)3-27=27-27=0 evaluar las raíces en el denominador.

4.-Como x_1 =3anula al denominador y x_2= -3 es diferente de cero, la única solución de la ecuación es x=-3.

C) (3x+4)/(x+3) = (6x-4)/(2x-5)
Esta ecuación se puede resolver de dos maneras, la primera implica igualar a cero y resolver la expresión racional para después despejar a la incógnita x y resolver o encontrar el valor que hace verdadera la ecuación racional, La segunda forma es eliminar losdenominadores multiplicando el primer denominador por el segundo numerador de un lado, y del otro, el segundo denominador por el primer numerador. Veamos el procedimiento correcto para las dos posibles soluciones:

Primera solución Segunda solución

(3x+a)/(x+3)-(6x-4)/(2x-5)=0

=((3x+4)(2x-5)-(6x-4)(x+3))/((x+3)(2x-5))
=((6x^2+8x-15x-20)-(6x^2-4x+18x-12))/((x+3)(2x-5))=(6x^2-7x-20-6x^2-14x+12)/((x+3)(2x-5))

Donde:
6x^2-7x-20-6x^2-14x+12=0
-21x-8=0
-21x=8

X=-8/21


(3x+4)/(x+3)=(6x-4)/(2x-5)

=(3x+4)(2x-5)=(6x-4)(x+3)

6x^2+8x-15x-20=6x^2-4x+18x-12

6x^2-7x-20=6x^2+14x-12

6x^2-7x-20-6x^2-14x+12=0

-21x-8=0
-21x=8

x=- 8/21

Dado que -8/21 no anula a ningún denominador su raíz o solución es x=-8/21

1.6 EXPRESIONES RADICALES
Las expresiones radicales sedenotan con el símbolo √ (radical), que afecta a la variable independiente, por ejemplo √x ,2√x,4√(5&x^3 ); la expresión que se encuentra dentro del símbolo de radical recibe el nombre de radicando y el índice a la izquierda que contiene el símbolo de radical indica la raíz a la que hace referencia; recordando que la raíz cuadrada no se denota, tal que: √x significa √(2&x).

A laexpresión completa: radicando, símbolo de radical e índice se le denomina entonces expresión radical.
Definición de la raíz enésima de a.
Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz enésima principal de a se define como √(n&a) =b, donde bn = a para toda b ≥0,a ≥0 si n es par. Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades o leyes que se indican acontinuación.

1.7 LEYES DE LOS RADICALES
El producto de dos radicales con la misma raíz: Si existe un producto de dos radicales con el mismo índice o raíz, se puede simplificar multiplicando los radicales y conservando la misma raíz. Para todo numero real no negativo de a y b.
√(n&a )•√(n&b) √(n&ab)= √4 •√9 =√(4•9) =√36=6
El cociente de dos radicales con la misma raíz. En un cociente...