Algebra

Transformaciones lineales
Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Se pueden usar determinantes para describir unaimportante propiedad geométrica de las transformaciones lineales en el plano y en R3. Si T es una transformación lineal y S es un conjunto en el dominio de T , denotemos por t(S) el conjunto de imágenes depuntos en S. estamos interesados en comparar el área o volumen de T(S)con el área o conjunto original S. por conveniencia. Cuando S es una región delimitada por un paralelogramo, nos referimos a SComo una paralelogramo.

Sea T:R2→R2 – R una transformación lineal determinada por una matriz A 2 X 2. Si S es una paralelogramo en R2, entonces:
Area de T(S) =detA ∙ area de S (5)

SI testa determinado por una matriz A 3×3 y si S es un paralelepípedo en R3 entonces
Volumen de T (S) = detA ∙ volumen de S (6)

Considere que 2 × 2 , con A=(a1 ,a2), un paralelogramoen el origen en R3 determinado por vectores b1 y b2 tienen la forma
S= s1b1 + s2b2 :0≤s1 ≤1,0 ≤ s2 ≤1
La imagen de S bajo T consiste en punto de la forma
T ( s1b1+ s2 b2) = s1 T(b1)+ s2 T (b2)
=s1AB1 +s2AB2
Donde 0 ≤ s1 ≤ 1,0 ≤ s2 ≤ 1. Se sigue de T (S) es el paralelogramo determinado por las columnas de las matriz AB1 AB2. Se puede escribir estamatriz como AB donde B=B1 B2. Por el teorema 9 y el teorema del producto para determinante
area de TS= det AB = detA ∙ detB
= detA ∙ área de S

Unparalelogramo arbitrario tiene de forma de p + S, donde S es un paralelogramo en el origen, como el anterior. Es fácil ver que T transforma p + S en T(p)+ T(S) puesto que latranslación no afecta el área de un conjunto
area de T (p+S)= area de T p+ T S
= area de T (s) translación
= detA ∙ area de S por (7)
= detA ∙ area de p+S...