Algebra

Problemas de espacios vectoriales.
Algunos de los problemas aquí planteados aparecen en el primer capítulo del libro: Problemas
de Álgebra, Editorial Clagsa. El citado libro pertenece a la bibliografía recomendada para la
asignatura de “Álgebra”. Dichos problemas están convenientemente señalados.
1. Demostrar que el conjunto C de los números complejos, con las operaciones de suma y
productousuales tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales R.
(Problema resuelto nº 1, pág. 7)
2. Probar que el conjunto P2[x] formado por los polinomios de grado menor o igual que dos
con coeficientes reales es un espacio vectorial.
3. Sea M={(x,y,z) / x+y+z=0} ⊂ R3. Demostrar que es un espacio vectorial. ¿ Pertenecen los
vectores (1,0,2), (1,1,-2) y (1,1,1) alespacio vectorial M ? ¿ Es M'={(x,y,z) / x+y+z=1} un
subespacio vectorial de R3 ?
4. a) ¿ Son los vectores (1,2,3) y (1,1,1) combinación lineal de la familia de vectores
S={(1,0,1),(0,2,2)} ?
b) Calcular x e y, si es posible, para que el vector (1,2,x,y) sea combinación lineal de los
vectores (1,1,0,2) y (1,1,2,3) ?
(Problema propuesto nº 3, pág. 22)
5. Si e1, e2 y e3 son vectores linealmentedependientes de V.
a) ¿ Se puede asegurar que e1 depende linealmente de los otros dos ?
b) ¿Se puede asegurar que uno de los tres vectores es combinación lineal de los otros dos?
(Problema resuelto nº 3, pág. 9)
6. Probar que si {e1, e2, e3} son linealmente independientes, entonces {e1+ e2, e2+ e3, e1+e3} son
linealmente independientes.
(Problema resuelto nº 4, pág. 10)
7. Probar que losvectores B={{2,1,1),{1,3,1),(-2,1,3)} forman una base de R3. Hallar las
coordenadas del vector (1,1,2) en dicha base.
(Problema propuesto nº 12, pág. 23)
8. Probar que los polinomios B={p1(x)=1, p2(x)=(x+1)2, p3(x)=x} forman una base del
espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, P2[x]. Hallar las
coordenadas del polinomio q(x)=2x2+7x+3 en dicha base.
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9. Seconsideran los siguientes subespacios de R4:
V1={(x,y,z,t) ∈ R4 / x+y+z=0}
V2=
V3={(x,y,z,t) ∈ R4 / x = α + β , y = α + γ , z = γ + δ , t = α + δ }
¿ Pertenece el vector (1,0,-1,-2) a dichos subespacios ? En caso afirmativo calcular las
coordenadas de dicho vector con respecto a alguna base de dichos subespacios.
(Problema propuesto nº 14, pág. 24)
10. Extender el conjunto:S={(1,1,-1,1),(1,1,0,1),(1,2,1,1)}
para formar una base de R4.
(Problema propuesto nº 13, pág. 23)
11. Sean B={v1, v2, v3} y B’={u1, u2, u3} dos bases de R3 tales que:
u1= v1-v3
u2= v2+v3
u3= v1-v2
a) Sea e ∈ R 3 el vector que en la base B’ tiene coordenadas (1,2,3). Calcular sus coordenadas
en la base B.
b) Sea e'∈ R 3 el vector que en la base B tiene coordenadas (1,2,3). Calcular sus coordenadas
en la baseB’.
12. Hallar la intersección y la suma de los subespacios
V1=
V2=
(Problema propuesto nº 18, pág. 24)
13. Sean E1, E2 y E3 tres subespacios de R3 definidos por:
E1={(a,b,c) ∈R3 / a+b+c=0},
E2={(a,b,c) ∈R3 / a=c},
E3={(0,0,c) ∈R3}
a) Demostrar que R3= E1+E2 ¿ Están en suma directa ?
b) Demostrar que R3= E1+E3 ¿ Están en suma directa ?

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14. Consideremos los subespacios V y Wcontenidos en R3definidos como sigue:
V={(x,y,z) ∈R3 / x=a+c, y=b+c, z=a+b+2c },
W={(x,y,z) ∈R3 / x-y+2z=0},
Calcular bases, dimensiones y ecuaciones de los subespacios V, W, V+W y V ∩ W. ¿ Están en
suma directa V y W ? ¿ Qué espacio es un suplementario de V ? ¿ Y un suplementario de
V∩ W ?
(Problema propuesto nº 24, pág. 23)
15. Sean B={e1, e2, e3, e4} y B’={u1, u2, u3, u4} dos bases de R4, donde:u1=e1+e2
u2=e1
u3=e2-e3
u4=e1+e4
Hallar respecto a B’ las ecuaciones de un subespacio que respecto a B viene dado por
x-t=y+z=0

Problemas propuestos.
1. Demostrar que el conjunto de matrices 2x2 con coeficientes reales, M2(R), es un espacio
vectorial.
2. Dadas las matrices

B=

1 0 1 1 1 1 0 0
,
,
,
0 0 0 0 1 0 0 1

a) Probar que forman una base del espacio vectorial...