algebra

CAP´
ITULO XVI.
´
NUMEROS COMPLEJOS

SECCIONES
A. Definici´n. Primeras propiedades.
o
B. Potencia y ra´ de n´meros complejos.
ız
u
C. Ejercicios propuestos.

273

´
A. DEFINICION. PRIMERAS PROPIEDADES.

Un n´mero complejo es un par ordenado de n´meros reales. El conjunto de
u
u
los n´mero complejos es pues
u
C = {(a, b) : a, b ∈ R} = R × R.

Si z = (a, b) ∈ C, se llamaparte real de z a la primera componente a = Re z
y se llama parte imaginaria de z a la segunda componente b = Im z .
Observaci´n 1. Los n´meros complejos surgen como necesidad de resolver
o
u
ecuaciones que involucren ra´ de n´meros negativos. As´ por ejemplo, la
ıces
u
ı,
ecuaci´n x2 + 1 = 0 no tiene soluci´n en el sistema de n´meros reales; por
o
o
u
eso, originalmente se represent´una de sus ra´ con la letra i (de imaginao
ıces
rio). En este nuevo conjunto se podr´ verificar el teorema fundamental del
a
Algebra mediante el cual todo polinomio con coeficientes complejos tiene
exactamente tantas ra´
ıces como indica su grado.
Observaci´n 2. De la definici´n se observa que C puede representarse como
o
o
el conjunto de puntos del plano: su primera coordenada corresponde ala
parte real y su segunda coordenada a la parte imaginaria. El punto cuyas
coordenadas son las componentes de un n´mero complejo se llama afijo del
u
n´mero. Llamamos eje real al eje de abscisas y eje imaginario al eje de
u
ordenadas.

El conjunto C tiene estructura de cuerpo con las operaciones
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc),
siendo (0, 0) elneutro para la suma y (1, 0) el elemento unidad. El opuesto
a
−b
1
de z = (a, b) es −z = (−a, −b) y el inverso, z −1 = =
,
,
z
a2 + b2 a2 + b2
si z = 0.
274

Se puede considerar a los n´meros reales como subconjunto de los compleu
jos haciendo la identificaci´n a = (a, 0), ∀a ∈ R, pues de este modo las
o
operaciones anteriores coinciden con la suma y producto de n´meros reales.
uAs´ pues, a los n´meros complejos de la forma a = (a, 0) los llamaremos
ı
u
reales y un n´mero complejo es imaginario si no es real.
u
Se llama unidad imaginaria al n´mero i = (0, 1) y un n´mero complejo z es
u
u
imaginario puro si z = (0, b) = b · i, b ∈ R.
Observaci´n 3. As´ definida, la unidad imaginaria verifica la ecuaci´n x2 +
o
ı
o
4 = 1, todas las potencias de i se reducen
1 = 0.En general, debido a que i
a cuatro:
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i.
Debido a la descomposici´n (a, b) = (a, 0) + (0, b), todo n´mero complejo se
o
u
puede escribir en forma bin´mica como (a, b) = a + ib.
o
Se define conjugado de z = (a, b) al n´mero z = (a, −b). De la definici´n
u
o
se observa que los afijos de dos complejos conjugados son puntos sim´tricos
e
respecto al eje real.Podemos destacar las siguientes propiedades:
1) z = z, ∀z ∈ C.
2) z = z ⇐⇒ z ∈ R.
3) z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 = z1 · z2 , ∀z1 , z2 ∈ C.
4) −z = − z, z −1 = z −1 , ∀z ∈ C.
5) z + z = 2 Re z; z − z = 2i Im z, ∀z ∈ C.
Llamamos m´dulo de un n´mero complejo z = (a, b) a la longitud r = |z| =
o
u
√
a2 + b2 . Se verifican las siguientes propiedades:
6) z = 0 ⇐⇒ |z| = 0.
7) |z|2 = z · z, ∀z ∈C.
8) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, ∀z1 , z2 ∈ C.
9) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, ∀z1 , z2 ∈ C.
Se llama argumento de un n´mero complejo z = (a, b) al n´mero ϕ = arg z =
u
u
arc tg b/a y gr´ficamente representa el ´ngulo que forma el segmento OP con
a
a
la parte positiva del eje real medido en la direcci´n contraria al movimiento
o
de las agujas del reloj. A veces se considera el argumentocomo alguno de
los valores ϕ + 2kπ, con k ∈ Z, con lo que llamaremos argumento principal
de z, Arg z, al que verifica 0 ≤ Arg z < 2π. Las siguientes propiedades son
f´ciles de verificar:
a
10) arg(αz) = arg z si α > 0; arg(αz) = π + arg z si α < 0.
275

11) arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 , ∀z1 , z2 ∈ C.
12) arg z = − arg z, ∀z ∈ C; arg(1/z) = − arg z, , ∀z = 0.
Dado un n´mero complejo...