Algebra

Descomposici´n en valores singulares
o
Notas para los cursos 21 y 22 (J.L. Mancilla Aguilar)

1.

Valores Singulares

Tanto los valores singulares como la descomposici´n en valores singulares de una matriz son
o
conceptos de gran utilidad en las aplicaciones del ´lgebra lineal a diversos problemas pr´cticos
a
a
y te´ricos.
o
A continuaci´n definiremos el concepto de valor singularde una matriz.
o
Dada una matriz A ∈ Rm×n , la matriz AT A es sim´tica, pues (AT A)T = AT (AT )T = AT A,
e
y semidefinida positiva, ya que
xT AT Ax = (Ax)T (Ax) = Ax

2

≥ 0 ∀x ∈ Rn .

Por lo tanto los autovalores de AT A son reales y no negativos.
Definici´n 1 Sea A ∈ Rm×n . Sean λ1 , λ2 , . . . , λn los autovalores de AT A ordenados en forma
o
decreciente, es decir,
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥λn ≥ 0.
√
Entonces σi = λi es el i-´simo valor singular de A.
e
El primer y el ultimo valor singular de una matriz proporcionan la siguiente informaci´n.
´
o
Proposici´n 1 Sea A ∈ Rm×n . Entonces, si σ1 y σn son, respectivamente, el mayor y el menor
o
valor singular de A, se tiene que
m´x Ax = σ1
a
x =1

y

m´ Ax = σn .
ın
x =1

Demostraci´n. Sean λ1 y λn el m´ximo y el m´
oa
ınimo autovalor de AT A, respectivamente.
Entonces, por Rayleigh,
m´x xT (AT A)x = σ1
a
x =1

m´ xT (AT A)x = σn .
ın

y

x =1

Luego
σ1 =

λ1 =

m´x xT (AT A)x = m´x
a
a
x =1

x =1

Ax

2

= m´x Ax ,
a
x =1

valiendo la primera igualdad por la definici´n de valor singular, la segunda por Rayleigh, la
o
√
tercera por la igualdad xT (AT A)x = Ax 2 y por ser lafunci´n η(t) = t mon´tona creciente
o
o
en [0, ∞) (si η es una funci´n escalar mon´tona creciente sobre la imagen de f (x) entonces
o
o
η(m´x f (x)) = m´x η(f (x)) y η(m´ f (x)) = m´ η(f (x)) ).
a
a
ın
ın
En forma similar se prueba que m´ x =1 Ax = σn .
ın

Como corolario de la Proposici´n 1 resultan las desigualdades
o
σn x ≤ Ax ≤ σ1 x
1

∀x ∈ Rn ,

que acotan superior einferiormente la magnitud de Ax en funci´n de la magnitud de x.
o
En efecto, si x = 0 las desigualdades son obviamente ciertas. Si x = 0 tenemos que v = x/ x
es unitario y por lo tanto σn ≤ Av ≤ σ1 . Pero Av = Ax / x , con lo cual
σn ≤

Ax
≤ σ1
x

=⇒

σn x ≤ Ax ≤ σ1 x .

El siguiente resultado ser´ clave para la construcci´n de la descomposici´n en valores sina
o
o
gulares de unamatriz. Recordemos que toda matriz sim´trica n × n con coeficientes reales es
e
diagonalizable ortogonalmente, o, lo que es equivalente, existe una b.o.n. de Rn compuesta por
autovectores de ella.
Teorema 1 Sea A ∈ Rm×n . Supongamos que λ1 , λ2 , . . . , λn son los autovalores de AT A y que
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λr > λr+1 = · · · = λn = 0,
en otras palabras, los autovalores de AT A est´n ordenadosen forma decreciente y el n´mero de
a
u
autovalores no nulos es r.
Sea {v1 , . . . , vn } una b.o.n. de Rn tal que AT Avi = λi vi .
Entonces
√
1. {Av1 , . . . , Avn } es un conjunto ortogonal y Avi = λi = σi para todo i = 1, . . . , n;
2. { Av1 , . . . , Avr } es b.o.n. de col(A);
σ1
σr
3. {vr+1 , . . . , vn } es b.o.n. de Nul(A);
4. rango(A) = r = n´mero de v.s. no nulos de A.
uDemostraci´n. Respecto del primer punto, como
o
T
T
T
(Avi , Avj ) = (Avi )T (Avj ) = vi (AT Avj ) = vi (λj vj ) = λj (vi vj ) =

λj
0

i=j
,
i=j

√
entonces Avi ⊥ Avj si i = j y Avi = λi = σi para i = 1, . . . , n.
Respecto del punto 2., como por el punto 1. el conjunto { Av1 , . . . , Avr } es ortonormal, basta
σ1
σr
probar que ´ste genera el espacio columna de A. Para elloalcanza con ver que
e
gen{Av1 , . . . , Avr } = col(A).
Consideremos la transformaci´n lineal T : Rn → Rm , T (x) = Ax. Tenemos por un lado que
o
Im(T ) = col(A). Por otra parte, como {v1 , . . . , vn } es base de Rn y T (vi ) = Avi ,
col(A) = Im(T ) = gen{Av1 , . . . , Avn } = gen{Av1 , . . . , Avr },
√
la ultima igualdad debida al punto 1., ya que Avi = λi = 0 si i ≥ r + 1.
´
El punto 4....