algebra

Capitulo 1

Funciones

y
I
I
I
I
I
I

: f(X3)---"':
f(X2)---"":
:
I

--~----+---~--~I~X

En este capitulo ~Ha escuchado frases como "el exito esta un funcion del trabajo arduo" y
ilia demanda esta un funcion del precio"? La palabra funci6n se usa a menudo para sugerir
una relacion 0 una dependencia de una cantidad con respecto a otra. Como tal vez sepa, en
matematicas elconcepto de una funcion posee una interpretacion similar pero ligeramente
mas especializada.
EI calculo trata, en esencia, sobre funciones. ASI, resulta conveniente empezar su estudio con
un capitulo dedicado a un repaso de este importante concepto.
1.1 Funciones y graticas
1.2 Combinaci6n de funciones
1.3 Funciones polinomiales y racionales
1.4 Funciones trascendentes
1.5 Funciones inversas1.6 Funciones exponencial y logaritmica
1.7 De las palabras a las funciones

Revisi6n del capitulo 1

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CAPITULO 1 Funciones

1.1

Funciones y graficas

I Introduccion

Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta faci)
establecer una regIa de correspondencia que asocie, 0 apareje, a los miembros 0 elementos de un
conjunto con los elementos deotro conjunto. Por ejemplo, para cada numero de seguridad social
hay una persona; para cada libro corresponde por 10 menos un autor; para cada estado hay un
gobernador, etcetera. En matematicas estamos interesados en un tipo especial de correspondencia: una correspondencia con valor unico denominada funcion .
Definicion 1.1.1 Funci6n
Una funcion de un conjunto X en un conjunto Yes una regIade correspondencia que asigna
a cada elemento x en X exactamente un elemento y en Y.

I Terminologia

Una funci6n suele denotarse por una letra como j; g 0 h. Entonces podemos
representar una funci6nf de un conjunto X en un conjunto Y por medio de la notaci6nf: X -+ Y.
El conjunto X se llama dominio def EI conjunto de elementos correspondientes y en el conjunto Y se denomina rango de lafunci6n. El unico elemento y en el rango que cOiTesponde a un elemento x selecto en el dominio X se denomina valor de la funci6n en x, 0 imagen de x, y se escribe f(x) . Esta expresi6n se lee ''f de x" 0 ''f en x", y se escribe y = f(x). Algunas veces tambien
conviene denotar una funci6n por y = y(x). Observe en la FIGURA 1.1 .1 que el rango defno necesariamente debe ser to do el conjunto Y. A muchosprofesores les agrada llamar a un elemento x
en el dominio entrada de la funci6n, y al elemento correspondiente f(x) en el rango salida de la
funci6n. Puesto que el valor de y depende de la elecci6n de x, y se denomina variable dependiente; x se denomina variable independiente. A partir de este momenta consideraremos que
los conjuntos X y Y constan de numeros reales; asi, la funci6n f sedenomina funcion con valor
real de una sola variable real.
En todos los analisis y ejercicios de este texto, las funciones se representan de varias formas:

FIGURA 1.1.1 Dominio Y fango
de una funci6n f

• analitica, es decir, por medio de una f6rmula como f(x) = x 2 ;
• verbal, es decir, mediante una descripci6n con palabras;
• numerica, es decir, mediante una tabla de valores numericos; y
•visual, es decir, con una grafica.

'JI#MiU!,I'

Funci6n elevar al cuadrado

La regIa para elevar al cuadrado un numero real esta dada por la ecuaci6nf(x) = x 2 0 Y = x 2 .
Los val ores de f en x = -5 Y x = 0 se obtienen al sustituir x, a la vez, por los numeros
-5 y 0.

f( -5) = (- 5)2 = 25 Y f(0) = (0)2 = 7.

MIU@Q!'W,

•

Correspondencia estudiante y escritorio

Unacorrespondencia natural ocurre entre un conjunto de 20 estudiantes y un conjunto de, por
ejemplo, 25 escritorios en un sal6n de clases cuando cada estudiante escoge y se sienta en un
escritorio diferente. Si el conjunto de 20 estudiantes es el conjunto X y el conjunto de 25 escritorios es el conjunto Y, entonces esta correspondencia es una funci6n del conjunto X al conjunto Y, en el supuesto de que...