algebra
Páginas: 6 (1269 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2014
INTRODUCCION
El objetivo principal de este capítulo es aproximar funciones mediante series de
potencias.
La función sucesiones una función cuyo dominio es el conjunto de números
enteros positivos y cuyo contra dominio consiste de los elementos de la sucesión.
Se encontrara la demostración de la equivalencia de convergencia y sucesiones
monótonas acotadas, basada en la propiedad decompletez de los números
reales.
Se define la suma de una serie infinita como el límite de un tipo particular de
sucesión. También se tratan los teoremas acerca de series infinitas.
APROXIMACIONES POLINOMIALES MEDIANTE LA FÓRMULA DE TAYLOR
Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse
efectuando un número finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entreellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, no pueden
evaluarse tan fácilmente. Muchas funciones pueden aproximarse mediante
polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse
para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la
aproximación polinomial es suficientemente pequeña
Varios métodos puedenemplearse para aproximar una función dada mediante
polinomios. Uno de los más ampliamente utilizados hace uso de la fórmula de
Taylor, llamada así en honor del matemático ingles Brook Taylor (1685-1731). El
teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del
teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.
TEOREMA:
Sea f una función tal que f y sus primeras nderivadas son continuas en el
intervalo cerrado [a, b]. Además, considere que ( ) ( ) existe para toda
del
intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b)
tal que:
( )
̇( )
( )
̇ ( )( )
(
(
)
)
̇(
̇ ( )
)(
(
)
)
(
(
)
)
Esta ecuación también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por
[b, a], y (a. b) sesustituye por (b, a).
Observe que cuando n = 0, se convierte en
( )
( )
( )(
)
Donde z está entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio. Si se
reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:
( )
̇( )
( )
̇ ( )( )
(
(
̇ ( )
)
̇(
)
)(
(
)
)
(
(
)
)
Donde z está entre a y x.
La condición en la que se cumple,es que f y sus primeras derivadas sean
continuas en un intercalo cerrado que contenga a a y x, y la (n+1)-ésima derivada
de f exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. Esta fórmula
puede escribirse como:
( )
( )
( )
Donde
( )
( )
( )
(
( )
)
(
)
( )(
)
(
)
Y
(
( )
(
)
( )
(
)
)
Donde z está entre a y x.( ) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función f en el
( ) se llama residuo. El término
( ) se denomina forma de
número a, y
Lagrange del residuo, llamada así en honor al matemático francés Joseph L.
Lagrange (1736-1813).
El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 es:
( )
( )
̇( )
̇ ( )
̇ ( )
̇(
)(
(
)
)Donde z está entre 0 y x. esta fórmula recibe el nombre de fórmula de Maclaurin,
en honor al matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746). Sin embargo, la
formula fue obtenida por Taylor y por otro matemático inglés, James Stirlling
(1692-1770). El polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado para una función f,
obtenido con a=0, es
( )
( )
( )
( )
( )(
)
Así se aproxima unafunción de Taylor a un polinomio de Maclaurin
EJEMPLOS:
1. utilice un polinomio de maclaurin para determinar el valor de √e con una exactitud
de cuatro cifras decimales.
2. Determine el polinomio de Taylor de tercer grado de la función coseno en 1/4∏ y
la forma de la lagrange del residuo. trace las graficas del polinomio y de la función
coseno en el mismo rectángulo de inspección....
El objetivo principal de este capítulo es aproximar funciones mediante series de
potencias.
La función sucesiones una función cuyo dominio es el conjunto de números
enteros positivos y cuyo contra dominio consiste de los elementos de la sucesión.
Se encontrara la demostración de la equivalencia de convergencia y sucesiones
monótonas acotadas, basada en la propiedad decompletez de los números
reales.
Se define la suma de una serie infinita como el límite de un tipo particular de
sucesión. También se tratan los teoremas acerca de series infinitas.
APROXIMACIONES POLINOMIALES MEDIANTE LA FÓRMULA DE TAYLOR
Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse
efectuando un número finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entreellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, no pueden
evaluarse tan fácilmente. Muchas funciones pueden aproximarse mediante
polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse
para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la
aproximación polinomial es suficientemente pequeña
Varios métodos puedenemplearse para aproximar una función dada mediante
polinomios. Uno de los más ampliamente utilizados hace uso de la fórmula de
Taylor, llamada así en honor del matemático ingles Brook Taylor (1685-1731). El
teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del
teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.
TEOREMA:
Sea f una función tal que f y sus primeras nderivadas son continuas en el
intervalo cerrado [a, b]. Además, considere que ( ) ( ) existe para toda
del
intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b)
tal que:
( )
̇( )
( )
̇ ( )( )
(
(
)
)
̇(
̇ ( )
)(
(
)
)
(
(
)
)
Esta ecuación también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por
[b, a], y (a. b) sesustituye por (b, a).
Observe que cuando n = 0, se convierte en
( )
( )
( )(
)
Donde z está entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio. Si se
reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:
( )
̇( )
( )
̇ ( )( )
(
(
̇ ( )
)
̇(
)
)(
(
)
)
(
(
)
)
Donde z está entre a y x.
La condición en la que se cumple,es que f y sus primeras derivadas sean
continuas en un intercalo cerrado que contenga a a y x, y la (n+1)-ésima derivada
de f exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. Esta fórmula
puede escribirse como:
( )
( )
( )
Donde
( )
( )
( )
(
( )
)
(
)
( )(
)
(
)
Y
(
( )
(
)
( )
(
)
)
Donde z está entre a y x.( ) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función f en el
( ) se llama residuo. El término
( ) se denomina forma de
número a, y
Lagrange del residuo, llamada así en honor al matemático francés Joseph L.
Lagrange (1736-1813).
El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 es:
( )
( )
̇( )
̇ ( )
̇ ( )
̇(
)(
(
)
)Donde z está entre 0 y x. esta fórmula recibe el nombre de fórmula de Maclaurin,
en honor al matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746). Sin embargo, la
formula fue obtenida por Taylor y por otro matemático inglés, James Stirlling
(1692-1770). El polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado para una función f,
obtenido con a=0, es
( )
( )
( )
( )
( )(
)
Así se aproxima unafunción de Taylor a un polinomio de Maclaurin
EJEMPLOS:
1. utilice un polinomio de maclaurin para determinar el valor de √e con una exactitud
de cuatro cifras decimales.
2. Determine el polinomio de Taylor de tercer grado de la función coseno en 1/4∏ y
la forma de la lagrange del residuo. trace las graficas del polinomio y de la función
coseno en el mismo rectángulo de inspección....
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