Algebra

Sistemas de ecuaciones lineales

Concepto de ecuación lineal. Sistemas lineales.


Sistemas de ecuaciones lineales graduados.


Método de Gauss para graduar un sistema lineal.


Discusión de un sistema dependiente de un parámetro.

Objetivos Mínimos
- Conocer la definición de ecuación lineal.
Conocer la definición de sistema de ecuacioneslineales.

- Definición de sistemas equivalentes y saber que transformaciones nos permiten pasar de un sistema a otro que sea equivalente.

- Conocer la definición de sistema graduado.
Dado un sistema, saber aplicar el método de Gauss para obtener otro graduado equivalente.

- Saber discutir un sistema dependiente de un parámetro.


Introducción.-
Hace más de veinte siglos se publicó enChina el libro titulado
Nueve capítulos sobre el arte de las matemáticas
En el capítulo octavo se resuelven problemas que conducen a sistemas de
ecuaciones lineales. Así, el sistema:
[pic] lo resuelven tranformándolo previamente en este otro

[pic] del que, fácilmente, se obtiene de modo sucesivo[pic].

Por lo tanto, lo que hoy conocemos por método de Gauss, quizá debería
llamarsemétodo de Chui-Chang suan shu, que es como se conoce en chino el título de este libro de autor desconocido.



1.-Concepto de ecuación lineal. Sistemas lineales.
Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.
Son lineales: [pic]
No lo son: [pic]
Dos ecuaciones lineales se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución (o las mismassoluciones si tienen más de una).
Si multiplicamos los dos miembros de una misma ecuación lineal por el mismo número (distinto de cero) la ecuación resultante es equivalente a la dada.
Ejemplo.
Las ecuaciones lineales [pic]y [pic] son equivalentes.
Tienen las mismas soluciones (puntos por los que pasa esa recta)

Un sistema de ecuaciones lineales es el formado por varias ecuaciones lineales con elfin de determinar la solución (o soluciones) común a todas las ecuaciones que conforman dicho sistema.

Dos sistemas lineales se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Observación.- Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que forman parte de los mismos.
[pic]

Transformaciones en un sistema para obtener otro equivalente.-
Las siguientestransformaciones en las ecuaciones de un sistema dan lugar a otro sistema equivalente al dado.
• Multiplicar cada miembro de una ecuación por una constante no nula.
• Sustituir una ecuación por la suma de ella misma y otra cualquiera multiplicada por una constante.

En función del número de soluciones de un sistema éstos se clasifican:

|[pic]|


2.-Sistemas Graduados.-
Los siguientes sistemas se dicen graduados:
[pic]
De abajo arriba, vamos obteniendo el valor de cada incógnita que, en un paso posterior sustituimos en las ecuaciones anteriores y permite seguir el proceso hasta obtener la solución (o soluciones) del sistema.
Así, los anteriores sistemas son compatiblesdeterminados:
[pic]
Fíjate ahora en el siguiente sistema graduado,al tener más incógnitas que ecuaciones pasamos una de las incógnitas al segundo miembro, obtenemos otro sistema equivalente (graduado). Como las incógnitas están puestas en función de una de ellas(t en este caso) el sistema no tiene solución única sino que, en función de los valores que le demos a (t), las demás incógnitastomarán también distintos valores. Sistema compatible indeterminado.
[pic]
A la incónita (t) se le dice parámetro y se representa con una letra griega [pic] por ejemplo.
En estas circunstancias el sistema tiene infinitas soluciones de la forma:
[pic]
Así para [pic]

Aunque es menos evidente el siguiente sistema también es graduado:
[pic] despejamos “y” en la 2ª;”x” en la 1ª; “z” en la 3ª....