Algebra

Unidad 9 - Funciones Algebraicas Matemática I – CUC ______________________________________________________________________________________________ _________

FUNCIONES ALGEBRAICAS Lic.Graciela Alvarez de Cardozo ______________________________________________________________________ _______
9.1- Funciones Polinomiales Una función polinomial de grado “n”, es una función de la forma:

f : f (x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ......  an donde los ai  ¡ i  0,1,..., n y a0  0
y el exponente de cada “ x “ debe ser un entero no negativo. Ejemplo:

f ( x)  3 x 5  2 x 2  4 x  2
9.1.1-Dominio de las funciones polinomiales: Como podemos observar en las funciones polinomiales no existe ninguna restricción para los valores que puede tomar “ x” , por lo tanto, si el dominio noestá dado en forma explícita, se considerará como el conjunto de los números reales. El rango será un subconjunto de los reales. Ejemplo:

a) Sea f : f ( x)  x 2 ; 1  x  3  Domf   1,3  Im f   1,9
Observemos la gráfica para ver la imagen más clara:
y 8

6

4

2 -0.5 00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x

b) Ahora si consideramos la misma función pero sin explicitar el dominio, tendremos:f : f ( x)  x 2  Domf  ¡

Im f   0,  

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y

6

4

2

-2

-1

00

1

2

x

9.1.2- Función lineal Una función lineal es una función de la forma:

f : f ( x)  ax  b

; a, b  ¡

 Domf  ¡  Im f ¡  Su gráfica es siempre una recta, donde a es la pendiente y b la ordenada al origen y

a b 1

X 9.1.2.1. Relación entre el signo de la pendiente y el crecimiento o decrecimiento de la función.



Si a  0 f es creciente. Lo demostraremos, para ello recordemos cuando una función es creciente: f es creciente : Si x1  x2  f ( x1 )  f  x2 

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Sean x1 y x2  Domf / x1  x2

f ( x2 )  f ( x1 )   ax2  b    ax1  b 

 f ( x2 )  f ( x1 )  0  f ( x2 )  f  x1   f es creciente
Ejemplo: Consideremos la función:
y 6

 a.  x2  x1  pero a  0 y x2  x1  0

f ( x)  3 x  1

4

2

-1-0.5

00

0.5

1

1.5

2

2.5

x

Podemos observar que cuando x se incrementa en una unidad la función crece en tres unidades.



Si a  0 f es decreciente. Lo demostraremos, para ello recordemos cuando una función es decreciente: f es decreciente : Si x1  x2  f ( x1 )  f  x2 

Sean x1 y x2  Domf / x1  x2 f ( x2 )  f ( x1 )   ax2  b    ax1  b 

 f ( x2 ) f ( x1 )  0  f ( x2 )  f  x1   f es decreciente
Ejemplo: Consideremos la función f : f ( x )  3 x  1

 a.  x2  x1  pero a  0 y x2  x1  0

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y 2

0 -2 -1 0 1 2

x

-2

Podemos observar que cuando x seincrementa en una unidad la función decrece en tres unidades.

9.1.2.2- Aplicaciones económicas

1) Un concepto importante en economía es el de ingreso marginal
(ingreso adicional obtenido con la venta de una unidad más de un producto o servicio). Si cada unidad de un producto se vende a un mismo precio, el ingreso marginal siempre es igual al precio. Por ejemplo: si un producto se vende a $ 10 porunidad, la función ingreso marginal (I M), puede expresarse como una función constante:

IM  f ( x )  10
IM 10

Nº de unidades vendidas del producto 2) Consumo y ahorro El economista John M. Keynes (1883-1946) estudió el consumo de la gente, e hizo el siguiente planteo: “La ley psicológica fundamental consiste en que los hombres, como regla general y en promedio, están dispuestos a...