ALGEBRAA IIPARCIAL INGRIDMORAN N2A 1 1

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS Y FISICAS
INGENIERIA EN NETWORKING

ALGEBRA LINEAL II PARCIAL
ALUMNA:
INGRID MAGDALENA MORAN
ASANZA
PROFESOR:
CURSO:
N2A

2

VECTORES EN R
V= (X1, X2, X3….
Xn)
b=

X1
X2
X3
Xn

Y

Q
P
X

V=(X1,X2)
Un Vector representa un punto en el espacio. Refiriéndose al punto P al Q
poseen de:
a) Magnitud o la Longitud
b) Dirección
Un Vector es elconjunto de segmentos de línea que representa o es igual a
un segmento de línea dada.

Y

P

|V
|

=



a2
+
b2

-1 b
arctg= tag
a


X

Dado el Vector que se muestra determinar su magnitud y su dirección V=(3,3)
|V|=  a2 +b2
= arctgb
a
2
2
|V|= x + y
= tag-1-3
-3

|V|=(-3)2 + (-3)2
=45°
|V|=18
|V|=32

=180° + 45°
=225°

Dado el Vector que se muestra determinar su magnitud y su direcciónV=(23 ; 2)
|V|=(-3,46)2 + (+2)2
|V|=12 + 4


|V|=4
= tag-1 2
3,4
6
= -30°
MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

V=(a, b)
V=(a, b)
|V|=|V|
Multiplicar un escalar por un vector significa multiplicar la magnitud original
por dicho escalar.
>0 |v| aumenta y mantiene la dirección
<0 |v| aumenta y cambia la dirección

Dado el vector V= (1,1) obtener
a)
V
b) 2V
c) -2V

a)

2
V=(1,1)

b)
2V=2(1,1)
2V= (2,2)
|2V|= (2) 2
+(2) 2
|2V|=2 2
= arctg(1) =45°

= 45°

c)
-2V= -2(1,1)
-2V=(-2,-2)

= +/4
=225°

SUMA DE VECTORES
U=(a1,b1)
V=(a2,b2)
Sea u=(2,3) v=(-5,4)
u + v= (2,3)+(-5,4)
=[2+(-5);3+4]
=[-3,7]

RESTA DE VECTORES
Dado el vector U y V, el vector U-V es el vector que le debo sumar a U para
obtener b
U-V= (a1-a2, b1-b2)
U+(-V)=[(a1,b1)+(-a2,-b2)]

Sea V= (-5,4)U=(2,3)

V-U= [(-5,4)+(-2,-3)]
V-U= [-7,1]

V-U

VECTORES UNITARIOS

(0,1)

V=(a,b)
V=(ai+bj)

j
i

(1,0)
Base en R2

Componentes
Horizontes
Y verticales

u -> vector
unitario

u= ai+bj
|u|=  a2 +b2
|u|= 1

u= ai+bj
|u|= 1
1

u= ai+bj
u=cosi +senj

|u
|=

bj



ai

V= (4,3)

u= V
|V|
u= 4i +3j = 4i+3j = 4i + 3j
 42+32
25
5
5
Comprobación
|u|=  (4/5)2 +(3/5)2 =1

u = arctg
u=36°

(

3/5
4/5)

PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS VECTORES
q =(a1,b1) p= (a2,b2)
q . p = (a1. a2+ b1.b2)
Dado dos vectores sean V1 y V2 =  = V1-V2
|V1||V2|

•Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector
dado V=2i + 3j
u= V
|V|
V=(2,3)


u = 2i + 3j = 2i +3j = 2i +3j
2 + 3
 13
13  13
u = arctg

(

u = 56,31°

3/13
2/13

)

ENCONTRAR EL SENO Y EL COSENO DEL ANGULO DIRECTRIZ DE
DICHOVECTOR


V= 2i – 3j
Cos= 2
|V|
Cos=

2
22+(-3)2

Sen =

-3
22+(-3)2

= 2
13
=

-3
13

 =Cos-1 (0,35)
=56,63°
= Sen-1 (-0,83)
= -56,09°

ANGULO ENTRE VECTORES
Dado 2 vectores U y V el ángulo formado entre dichos vectores.
Cos = U.V
|U||V|
•Si los vectores son paralelos e ángulo es 0°
•Si es que el ángulo es o° sus vectores son paralelos.
•U y V diferentes de cero U || V  V= &V
(&->Representa un
escalar)
•= 90°  UV=0
•Si son perpendiculares los vectores el ángulo es 90°
Ejercicios
u = 2i +5j

v= 5i + 2j

Calcule el producto escalar entre dos vectores y el coseno del ángulo
entre ellos.
U.V =(2.5 + 5.2)
U.V= 20


-1
=
Cos
(0,68)
Cos=
20
= 20 =0,68
=47,15° R//
 29 . 29
29

Dado los vectores U y V determinar si son Octogonales, paralelos o
ninguno de los dos
U= 3i + 5jV= -6i – 10j
u.v= ((3)(-6)+(5)(-10))
u.v= -18 -50
u.v= -68
Cos=

-68
 32+52 .  (-6)2+(-10)2

Cos= -68
68
Cos= -1
= Cos-1 -1
= 180°
SON PERPENDICULARES

R//

U= 2i + 3j

V= 6i – 4j

u.v = (2.6)+(3.-4)
u.v =12-12
u.v= 0
Cos = 0
= Cos-1 0
= 90°
SON VECTORES ORTOGONALES R//

PROYECCIÓN DE UN VECTOR
Dado los vectores U y V se define la proyección del vector U sobre V se define
Proy V = U . V. V
|V|2
U.V>0
U y V tiene la misma dirección
< 
2

y
Pro

VU

> 
2
U.V <0
U y V tienen
direcciones opuestas


y
Pro

VU

Sea U= 2i + 3j

V=i + j
Proyv U= (2,3). (1,1) (i+j)
12 + 12

W= Proy v U

Proy U = 5 (i +
v
j)
Proy U= 52 i + 5j
v
2
2

W= U - Proy
v U
W= (2i + 3j)– 5i +
5j
2

( )( )

W= -1 i + 1 j
2
2

U= i + j

V=2i – 3j
Proyv U = UV
|V|2
Proy U v= (i + j)(2i – 3j)
22 + (-3) 2...