Alumno

Apuntes de la Cátedra:

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA

TEMA: VECTORES EN R² Y R³

VECTORES EN R² Y R³

VECTORES EN R2 Y R3
Contenidos:
Segmentos orientados y vectores. Suma. Propiedades. Distancia entre vectores. Vector unitario. Vectores canónicos Producto por un escalar. Cosenos directores. Producto escalar. Propiedades y aplicaciones. Proyecciones ortogonales. Producto vectorial. propiedadesy aplicaciones. Producto mixto. Interpretación geométrica del producto vectorial y producto mixto. Ecuación de la recta en el espacio. Formas vectorial, paramétrica y simétrica. Ecuación del plano en el espacio. Intersecciones.

Vectores en el Plano Hay una concepción geométrica del significado de un vector y una concepción algebraica, ambas compatibles.
→

Segmento dirigido PQ es el segmentode recta con origen en P y extremo en Q. Notar que PQ≠QP. Q Las propiedades que caracterizan de un segmento dirigido P P’ Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. → → PQ ≡ P’Q’ Se puede considerar que existen en el plano infinitos vectores equivalentes a un segmento dirigido PQ. Denominaremos vector PQ, o vector v a todo elemento de eseconjunto. Los dos segmentos representados son representantes del vector v. 1 v se representa trasladando PQ al origen de coordenadas de R2 En estas condiciones v admite una expresión como par ordenado en donde el par ordenado indica las coordenadas de su extremo v = (a,b). a y b se denominan también componentes del vector v. Este concepto es más utilizado desde el punto de vista algebraico. El módulode v es un número real que representa su longitud |v| = √a2 + b2 (por consecuencia directa de Pitágoras) Ejercicio: Demuestre que: |v|=0⇔v=0
→

Q’

son su magnitud o módulo, su dirección y su sentido. No obstante dos segmentos que sean coincidentes en estas características son distintos si no son coincidentes en el origen

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La notación más usual para vectores en R² y R³ es la forma vtipeo, serán indicados en negrita minúscula: v

; pero para simplificar el

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VECTORES EN R² Y R³

La dirección de v define un ángulo θ entre v y la dirección del eje horizontal x (llamado también eje de las absisas) en su sentido positivo. Dos vectores tienen igual dirección si y sólo si sus ángulos respectivos con dicho eje son iguales. En tal caso se dice que son paralelos. El vectornulo no tiene dirección ni sentido. Si v es no nulo y v1 = 0 ⇒ θ = π⁄2 Si v es no nulo y v1 ≠ 0 ⇒ θ = arc tag( b/a) El sentido es comparable entre vectores paralelos: Dos vectores paralelos u = (u1,u2) y v = (v1,v2) tienen igual sentido si con un origen común generan la misma semirrecta. O bien desde un punto de vista algebraico y en caso de componentes no nulas, si u1/v1 >0 y u2/v2>0. Si loscocientes son negativos, sus sentidos son opuestos. (además, al ser // resulta u1/v1 = u2/v2) Suma de vectores u + v = (u1,u2) + (v1, v2) = ((u1+v1),(u2+v2)) u2+v2 u2 v2 v u1 v1 u1+v1 v u u+v Gráficamente, se obtiene u + v trasladando el origen de v al extremo de u. El vector suma, cuyas componentes son (u1+v1, u2+v2) tiene por origen el origen de u y por extremo, el extremo de v. Desde otro punto devista, la suma u + v está dada por la diagonal del paralelogramo que forman u y v con sus pares paralelos, cuyo origen es el origen común. El primero de los criterios de suma gráfica puede extenderse a la suma de más de dos vectores

u

v

u+v+t

t

Resta -v u u-v Distancia entre dos vectores u-v v

Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo: u – v = u + (-v)Gráficamente, u - v es equivalente al segmento orientado cuyo origen es el extremo de v y su extremo es el extremo de u Se aprecia que v + (u-v) = u

La distancia entre u y v debe interpretarse como la distancia entre sus extremos, cuando están aplicados en un mismo origen. Tendremos en cuenta que podemos representar los elementos de R2 como vectores o como puntos del plano. 2

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