Análisis Matemático

ANALISIS MATEMATICO I Ciclo Lectivo 2009 Guía de Estudio y Práctica 07

DIFERENCIALES
Ing. Jorge J. L. Ferrante I CONSOLIDACIÓN DE CONCEPTOS

Corresponde señalar que la notación que se utiliza en esta parte de la asignatura es la misma que en su momento propusiera Leibniz en su afán de filósofo de fundar sobre bases sólidas el ahora llamado Análisis Matemático. La sola permanencia en eltiempo de esta notación da una idea clara del éxito, universalmente utilizada por las ciencias experimentales y la ingeniería en el planteo de sus modelos matemáticos. Por eso y por la agilidad y agudeza mental que crea el estudio sistemático y profundo del análisis matemático, lo transforman en el lenguaje por excelencia de la ingeniería. Además contribuye en gran medida a la formación de laindependencia intelectual necesaria y fundamental para el ejercicio de la profesión. Dicho esto como homenaje a Leibniz y sin por ello desmerecer un ápice a Newton se entra a continuación en tema. La diferencial Sea y = f(x) una función derivable en un punto x0 de su dominio.
f ′( x0 ) = lim f ( x0 + Δx) − f ( x 0 ) f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ( x) − f ( x0 ) Δf ( x0 ) = lim = lim = lim h →0 x → x0 Δx →0h x − x0 Δx Δx

Δx →0

Como toda función con límite es igual a este (el límite) más un infinitésimo, se puede escribir
Δf ( x0 ) = f ′( x0 ) + ε Δx ⇒ Δf ( x 0 ) = f ′( x0 )Δx + εΔx

ε → 0, Δx → 0

La expresión anterior es equivalente a decir que el incremento de una función derivable en un punto está compuesto de dos términos. Uno, el primero es lineal en el incremento Δx y el otro es unproducto de dos infinitésimos, es decir, es un infinitésimo de orden superior al primero. La parte del incremento de la función que es lineal en el incremento de la variable independiente se llama diferencial de la función y se lo nota dy. Entonces, por definición dy = f ′( x0 )Δx Si y = x se tiene, por ser y’ = 1 dx = Δx = h = x − x0 Lo que, a su vez permite escribir

dy = f ′( x 0 )dx

⇒dy = f ′( x0 ) dx

la derivada como un cociente de diferenciales. Antes de pasar a la interpretación geométrica de la diferencial recién definida corresponde hacer dos salvedades. Primera: la diferencial es de género femenino. Debe decirse y naturalmente, escribirse, LA diferencial y NO EL diferencial. Segunda: tal vez por arrastre de aquellas cosas como los incrementos evanescentes que llegana valer casi cero pero no cero o aquellos otros disparates de los ceros pequeños que ocuparon algún lugar antes de estar rigurosamente fundamentado el análisis matemático; algunos trasnochados supervivientes piensan que dx es más chiquito que Δx = x – x0. O que Δx es un poquito más grande que dx. En esos casos es pertinente preguntar ¿Cuánto más chiquito es dx que Δx? o, alternativamente ¿Cuántomás grande es Δx que dx?. Se han observado experimentalmente varios tartamudeos, carraspeos y extraños movimientos de índice y pulgar tratando de explicar el supuesto

“tamaño” de uno u otro. Siempre la supuesta diferencia ha sido vencida y, definitivamente ha triunfado invicta la igualdad

dx = Δx = h = x − x0
Hecha las salvedades anteriores se pasa a la interpretación geométrica de ladiferencial.
10

8

Δy
6

dy

4

2

0.5

1.0

1.5

2.0

dx = Δx = x – x0

La diferencial es el incremento de la tangente a la curva representativa de y = f(x) en x = x0 cuando x pasa de x0 a x. Cuando eso ocurre la función tiene una variación Δy que, en el caso de la figura es mayor que dy, en otros casos puede ser menor y, en el caso de funciones lineales, por ejemplo, soncoincidentes dy = Δy La parte “casi” triangular (un lado es curvo) comprendida entre la recta tangente y la curva representativa de y = f(x) representa el infinitésimo de orden superior no tomado en cuenta al definir la diferencial. Obsérvese cuan rápidamente se hace cero. Propiedades de la diferencial La diferencial es infinitésimo equivalente al incremento. En efecto, siendo

dy = y ′dx Δy = y...