Ana lisis de sen ales





Análisis de Señales y Sistemas en Ingeniería Biomédica
Práctica No. I: Números complejos en Mathematica.


Alyn Bermúdez Mohler
Jose Manuel Guzmán López
Pablo Toscano Tejeida

Abstract— El objetivo de esta práctica es el de aplicar la teoría vista en clase acerca de los números complejos, y como aplicarles operaciones simples usando Mathematica.

Index Terms— Los términos clave de estapráctica son: variable compleja, raíces de polinomios y funciones de visualización.


I. INTRODUCCIÓN
l número complejo, como concepto general, se refiere a cualquier número que este formado por una parte real x y una parte imaginaria iy donde i=.
Se representan en el plano complejo con el eje y como el eje Im (imaginario) y con el eje x como el eje Re (real) en la forma rectangularz=x+iy, representada por el punto (x, y) y en la forma polar z=r∠𝜃, donde:
r=,
x=r , y=r
Entonces .
Hablando de la notación de los número complejos la parte real se expresa como x=Re (z), la imaginaria como y=Im (z), la magnitud como r=|z|=Abs (z) y el argumento como 𝜃=∡𝑧=𝐴𝑟𝑔 (𝑧).
Complejo conjugados
Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 el completo conjugado de z es 𝑧∗ =𝑥−𝑖𝑦 y en su respectiva formapolar 𝑧∗ =𝑟∠−𝜃=𝑟𝑒−𝑖𝜃.
Si z = z*, el número es real puro.
Si z=-z*, el número es imaginario puro.
Propiedades de los número complejos conjugados
Los complejos conjugados comparten las propiedades de los números reales como se muestra en la tabla 1



Fecha de Entrega: lunes 24 de agosto de 2015.
Alyn V. Bermúdez Möhler. 7º semestre. Ing. Biomédica 00174863. José Manuel Guzmán López. 5º semestre.Ing. Biomédica 00188542.
Pablo Toscano Tejeida. 7º semestre. Ing. Biomédica 00173970.

Tabla 1.

=


=


=


=



Potencias de i
Recordando que i=, entonces:






Para potencias negativas:





Suma y resta de números complejos
Cuando se habla de la suma y resta de números complejos el método más sencillo es realizando la operación para cada uno de sus componentes individualmente.



Producto denúmeros complejos
En forma rectangular:


En forma polar:



División de números complejos
Sea:

Se multiplica por para eliminar la parte imaginaria del denominador y nos queda:



Entonces:

, donde
,

Tambien se aplican las leyes conmutativa, asociativa y distributiva con los números complejos. [1]


II. METODOLOGÍA
Las variables complejas están incluidas en Mathematica. Es posible resolveruna ecuación donde sus raíces no son reales:
Solve[x^2 + 1 == 0, x]
Cuando se quiere escribir la unidad imaginaria (i) en Mathematica, debe expresarse como I:
I
De igual manera pueden evaluarse potencias de I:
I^2
Es posible realizar operaciones aritméticas con números complejos:
(1 + I)^100 + 3^40

Raíces de polinomios
Es posible calcular las raíces de una función compleja y graficarlas en elplano complejo. Primero se debe definir la función:
f[z_] := z^20 – 1;
A continuación se encuentran las raíces:
raices = NSolve[f[z] == 0, z]
La solución se regresa como una serie de reglas de sustitución, para obtener números:
resultado = z /. raices
Ahora es necesario obtener los valores en forma de puntos para poderlos graficar en el plano complejo. Para esto, es necesariousar las funciones Re e Im que regresarán la parte real y la parte imaginaria respectivamente. Se utiliza una tabla para almacenar los valores:
puntos = Table[{Re[z], Im[z]}, {z, resultado}]
Para graficar una lista, se utiliza la función ListPlot: ListPlot[puntos, AspectRatio -> Automatic]
Se puede repetir el procedimiento para un polinomio más complicado:
f[z_] := z^100 – 1;
raices = NSolve[f[z]== 0, z];
resultado = z /.raices;
puntos = Table[{Re[z], Im[z]}, {z, resultado}]; ListPlot[puntos, AspectRatio -> Automatic]



El error que se produce es debido a un problema de aproximación numérica. Para solucionarlo, se puede fijar la precisión aritmética que debe utilizar NSolve:
f[z_] := z^100 – 1;
raices = NSolve[f[z] == 0, z, wORKINGpRECISION -> 12];
resultado = z /. raices;...