analis geometrico

La dinámica de un sistema de control en lazo cerrado está intimamente ligada con la situación de los polos de su función de transferencia, o lo que es lo mismo, la distribución de las raíces de su ecuación característica en el plano s. Este hecho proporciona un método tanto de análisis como de diseño en Ingeniería de Control. Por un lado, un problema típico de análisis consiste en estudiar comocambia la dinámica o comportamiento de un sistema cuando se produce una modificación en el valor de uno o varios de los parámetros que lo definen. Por otro lado, un problema típico de diseño es estudiar la influencia de alguno de los parámetros del controlador en la dinámica del sistema en lazo cerrado y ajustar el valor de dicho parámetro para obtener el comportamiento deseado en el sistema.Para cualquiera de los dos problemas es útil determinar el cambio de situación en el plano s de las raíces de la ecuación característica cuando varía el valor de algún parámetro del sistema de control (sea de la propia planta, de la realimentación o del controlador). Consideremos, por ejemplo, un sistema de control con realimentación unitaria negativa y con la siguiente función de transferencia enla cadena directa:
                           (9.1)
La ecuación característica en lazo cerrado (1 + G(s) = 0) será, por lo tanto:

y sus dos raíces, o polos del sistema en lazo cerrado, son s1,s2 = ±. En el estudio de la posición de dichas raíces, y la naturaleza de las mismas, cuando el parámetro K varía entre -∞ y +∞ se dan los siguientes casos:
-∞ < K < 0: Dos raíces reales y, al menos, unade ellas siempre positiva, s1 > 0.
K = 0: Dos raíces reales idénticas, s1 = s2 = 1.
0 < K < 8: Dos raíces complejas conjugadas, s1, s2 = σ ±jω, donde σ = y ω = son las partes real e imaginaria, respectivamente, y j = denota la unidad imaginaria. Eliminando el parámetro K de ambas expresiones e igualando se obtiene la ecuación de la evolución de dichas raíces en el plano s según varía elparámetro K. Así, la trayectoria descrita por dichas raíces cuando K varía entre 0 y 8 resulta ser:

Es decir, una circunferencia de radio dos y centrada en el punto (-1,0). En este intervalo de valores de K se pueden distinguir las siguientes situaciones:
0 < K < 2: Un par de raíces complejas conjugadas con parte real positiva: s1 = s2 = ± jω.
K = 2: Un par de raíces complejas conjugadas en el ejeimaginario en s1 = s2 = ±j.
2 < K < 8: Un par de raíces complejas conjugadas con parte real negativa: s1 = s2 = ± jω.
K = 8: Una raiz real doble en s1 = s2 = = -3.
K > 8: Dos raíces reales y negativas.
Gráficamente la evolución que experimentan los polos de este sistema en lazo cerrado se puede ver en la Figura 9.1. A partir de dicha figura se puede deducir la siguiente información acerca de ladinámica del sistema en lazo cerrado:
Estabilidad: Cuando las raíces están en el semiplano derecho se trata de polos en lazo cerrado inestables, y por lo tanto, el sistema en lazo cerrado es inestable. Es decir, para K < 2 el sistema en lazo cerrado es inestable.
Respuesta transitoria:
Si 2 < K < 8, entonces δ < 1, el sistema es subamortiguado y, por lo tanto, oscilatorio.
Si K = 8, entoncesδ = 1, y el sistema tiene amortiguamiento crítico.
Si K > 8, entonces δ > 1, y el sistema está sobreamortiguado.
 

 

Figura 9.1:
Evolución geométrica de los polos en lazo cerrado del sistema cuya función en lazo abierto es (9.1 )
 

El diagrama de la Figura 9.1 se conoce con el nombre de Lugar de las Raíces, y, como se ha explicado anteriormente, se trata de un método gráfico quepermite representar la evolución de las raíces de la ecuación característica de un sistema lineal en el plano s cuando varía algún parámetro del mismo, dando de esta forma una medida de la sensibilidad de las raíces con respecto a variaciones en el valor del parámetro que se considere. En definitiva, el estudio del lugar de las raíces de un sistema de control permite conocer la influencia que puede...