Analisis 2

Trabajo práctico en grupo nº1
Materia: Análisis II
Profesor(es): Juan Petryla y Gretel Fernández
Integrantes del grupo:
López, Gregorio
Werbach, Iván
Trabajo Práctico en grupo 1

Problema 1:
El Capitán Ralph tiene problemas cerca de la cara iluminada de Mercurio. La temperatura del casco de su nave cuando se encuentra en el punto (x, y, z) es de T(x,y,z) = exp(-x2-2y2-3z2) donde (x, y,z) e miden en metros. En este momento está en (1, 1, 1).
a) ¿En qué dirección debe moverse para que la temperatura baje lo más rápidamente posible?
b) Si la nave vuela a e8 metros por segundo, ¿a qué velocidad bajará la temperatura cuando se desplace en esa dirección?
c) Desafortunadamente el metal del casco se fracturará si se enfría a una velocidad mayor de √14 e2 grados por segundo. Describirel conjunto de direcciones según las cuales puede desplazarse para bajar la temperatura a un ritmo inferior al límite permitido.

Solución:
a) Hay que hallar como varía la temperatura en la dirección actual de la nave, para ello, se calculan las derivadas parciales de cada variable en (x0, y0, z0). Esto dará el gradiente de la función, es decir, la dirección de máximo crecimiento de la misma.T(x,y,z) = exp(-x2-2y2-3z2); (x0, y0, z0) = (1, 1, 1): (notar que exp u = eu)
+∂T/∂x = exp(-x2-2y2-3z2) * (-2x) ∂T/∂x (x0, y0, z0) = -2e-6
+∂T/∂y = exp(-x2-2y2-3z2) * (-4y) ∂T/∂y (x0, y0, z0) = -4e-6
+∂T/∂z = exp(-x2-2y2-3z2) * (-6z) ∂T/∂z (x0, y0, z0) = -6e-6
La dirección de máximo crecimiento es, entonces:
∇T = e-6 (-2, -4, -6).
Para disminuir la temperatura debe ir en la direcciónopuesta a la del gradiente. Es decir:
d = e-6 (2, 4, 6)
b) Para calcular la variación de la temperatura cuando la nave se mueve a una velocidad de e8 m/s en la dirección hallada, debemos hacer:
//∇T// = // dT/dx // * // dx/dt //, donde el primer término es el módulo del gradiente, y el segundo es la variación de la velocidad respecto al tiempo, que en este caso es igual a e8 m/s. Luego, la variaciónde temperatura será:
//∇T// = e-6 √(22+42+62) * e8 = √(56) * e8.
Factoreando el valor 56, nos queda √(22 * 14). Al final, el valor de la variación de la temperatura del casco de la nave será:
//∇T// = 2e2 * √14

Problema 2:
Una planta metalúrgica usa aluminio, hierro y magnesio para producir cachivaches de alta
calidad. La cantidad de cachivaches que se puede producir utilizando xtoneladas de aluminio, y
toneladas de hierro y z toneladas de magnesio es Q(x, y, z) = xyz. El costo de las materias primas
es: aluminio, 6 dólares por tonelada; hierro, 4 dólares por tonelada y magnesio, 8 dólares por
tonelada. ¿Cuántas toneladas de aluminio, hierro y magnesio deberán usarse para manufacturar
1000 cachivaches al menor costo posible?

Solución:
En este problema, debemos hallar losvalores extremos de Q(x, y, z) que satisfagan la ecuación
6x + 4y + 8z = 1000, siendo x, y, z las cantidades de material utilizado a su respectivo precio. Esta ecuación está igualada a la cantidad de cachivaches que la empresa debe manufacturar con esas cantidades. Se puede expresar esta función como:
Φ = 6x + 4y + 8z – 1000,
y después recurrir a una función auxiliar del tipo
G(x, y, z) = F(x,y, z) + λφ(x, y, z)
sujeta a las condiciones de
∂G/∂x = 0 , ∂G/∂y = 0 y ∂G/∂z = 0,
que son condiciones necesarias para la presencia de máximos o mínimos. El parámetro λ es independiente de x, y y z, y se llama multiplicador de Lagrange.
Entonces, la función que tenemos es:
P = Q + λΦ = xyz + 6xλ + 4yλ + 8zλ – 1000λ
Hallando las derivadas parciales de cada variable, se forma un sistema deecuaciones:
∂P/∂x = yz + 6λ = 0
∂P/∂y = xz + 4λ = 0
∂P/∂z = xy + 8λ = 0
∂P/∂λ = 6x + 4y + 8z – 1000 = 0

Despejando λ de (1):
λ = -yz/6
Despejando λ de (2):
λ = -xz/4
Igualando ambas ecuaciones:
-yz/6 = -xz/4 → x = ⅔ y
Despejando λ de (2):
λ = -xz/4
Despejando λ de (3):
λ = -xy/8
Igualando ambas ecuaciones:
-xz/4 = -xy/8 → z = ½ y

Ahora, reemplazando los valores de x y z en la...