Analisis de estabilidad con diagramas de bode

Análisis de estabilidad con diagramas de Bode

Abstract.- Este ensayo tiene como finalidad el presentar la técnica de diagramas de Bode en el análisis de estabilidad de un sistema de control, la misma que se trata con un cierto nivel de profundidad, adecuado para impartirse y lograr el correcto aprendizaje para la intervención con programas digitales o software computacionales.

I.INTRODUCCIÓN
En muchas ocasiones las gráficas lineales de la respuesta en frecuencia, aunque son exactas, no revelan aspectos importantes en el comportamiento de los sistemas, los cuales no son percibidos, por tanto al usar escalas logarítmicas es posible observar aspectos relevantes en un sistema. Para tal efecto se utilizan los diagramas o gráficas de bode.
Las escalas logarítmicas, que permitenrepresentar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de magnitud, separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posición del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos:
Log (N ⋅10D)= log(N)+ D [1]

De este modo, el orden de magnitud (D) establece un desplazamiento, separando unadécada (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los puntos correspondientes a un mismo orden de magnitud (década) tienen el mismo espacio para ser representados que los pertenecientes a una década superior.
Como ejemplo, en la figura siguiente se indica dónde se ubicarían en un eje logarítmico los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

Fig. 1 Representación de puntos en escala logarítmicaII. DIAGRAMAS DE BODE (Trazas de esquina o trazas asintóticas)
El diagrama de Bode ha recibido también los nombres de trazas de esquinas o trazas asintóticas ya que las trazas de Bode se pueden construir empleando aproximaciones en línea recta que son asintóticas a la gráfica real. En términos simples las trazas de Bode tienen las siguientes características:
1. El diagrama de bode consta dedos trazados los mismos que están representados en función de la frecuencia en escala logarítmica.

* Diagrama del logaritmo del módulo de una función de transferencia
* Diagrama del ángulo de fase

2. La representación común de la magnitud logarítmica de G (jw) es 20logG(jw), donde la base del logaritmo es 10. En la representación logarítmica se dibujan con escala logarítmica parala frecuencia y la escala para cualquier magnitud (en decibelios) o el ángulo de fase (en grados)

3. En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas.
a. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 2 w1 , donde w1 es cualquier frecuencia.
b. Una década es una banda de frecuencia de w1 a 10 w1, donde w1 es cualquier frecuencia.4. Ya que la magnitud de G(jw) en las trazas de Bode se expresa en dB, los factores de producto y división de G(jw) se vuelve adiciones y sustracciones, respectivamente. Las relaciones de fase también son sumadas y restadas entre sí de manera algebraica como se indicó en la propiedad de los logaritmos expuesta al principio del ensayo.

5. La gráfica de magnitud de las trazas de Bode deG(jw) se puede aproximar mediante segmentos de línea recta, lo que permite el simple bosquejo de las trazas sin cálculos detallados.

6. El diagrama de Bode de una función de transferencia G(s), que contiene varios ceros y polos, se obtiene sumando la gráfica debida a cada polo y cero individuales. La magnitud asintótica total se puede dibujar sumando las asíntotas debidas a cada factor. Lacaracterística de fase total, ϕ(w), se obtiene sumando la fase debida a cada factor.

7. El diagrama de Bode de un factor de cero (1+jwτ) se obtiene de la misma forma que para el del polo. Sin embargo, la pendiente es positiva en 20 dB/década y el ángulo de fase es ϕ(w)=tan-1wt.

8. Ya que la aproximación en línea recta de las trazas de Bode es relativamente fácil de construir, los...