Analisis De Variables

SEGUNDO TALLER DE ANALISIS DE VARIABLES
“TEST DE HIPOTESIS E INTERVALOS DE CONFIANZA”

Ejercicio 7-55 Montgomery:

El artículo “Mix design for Optimal Strength Development of Fly Ash Concrete” (Cement and Concrete Research, 1989, Vol. 19, No. 4, págs. 634-640) investiga la resistencia a la compresión del concreto cuando se mezcla con ceniza muy fina (una mezcla de silicatos, alúmina,hierro, óxido de magnesio y otros ingredientes). La resistencia a la compresión de nueve muestras de concreto en condiciones secas, al día 28, son las siguientes (en MPa): 40.2 30.4 28.9 30.5 22.4 25.8 18.4 14.2 15.3

a. Encuentre un intervalo de confianza inferior del 99% para la resistencia a la compresión promedio. Proporciones una interpretación práctica de este intervalo.
b. Encuentre unintervalo de confianza bilateral del 95% para la resistencia a la compresión promedio.
c. Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 99% para la resistencia a la compresión promedio.

Solución:
Al evaluar el intervalo de confianza inferior al 95% para la resistencia a la compresión promedio se realiza el siguiente procedimiento:
La varianza es desconocida por lo tanto, situviéramos una muestra grande, mayor que 30 sería aceptable reemplazar σ por la desviación estándar muestral pero como en este caso contamos con una muestra de 9 se debe hacer una hipótesis más fuerte, que en este caso sería que la población esté distribuida de manera normal.
Por el teorema de limite central la distribución de muestreo es aproximadamente normal por lo tanto, esto conduce a intervalosde confianza basados en una distribución t con n-1 grados de libertad.

El intervalo de confianza inferior del 100(1- α) por ciento para μ está dado por:

X-t_(α,n-1) S/√n ≤ μ
Con α= 0.01 el valor del punto crítico es:
T=(X-μ)/(S/√n)
Para ello necesitamos conocer el valor de la media y la desviación estándar:

> Resistencias=c(40.2, 30.4, 28.9, 30.5, 22.4, 25.8, 18.4, 14.2, 15.3)
>Resistencias
[1] 40.2 30.4 28.9 30.5 22.4 25.8 18.4 14.2 15.3

> mean(Resistencias)
[1] 25.12222
> sd(Resistencias)
[1] 8.42033
Como no se conoce el valor de la media poblacional μ, entonces utilizamos el siguiente comando para encontrar el valore crítico que corresponde al porcentaje α de la distribución t con n-1 grados de libertad:

> qt(c(0.01),9-1)
[1] 2.896459t_(α,n-1)=t_0.01,8=2.896459

El intervalo de confianza es el siguiente:
25.12222-((2.896459*8.42033)/√9)≤μ
> t.test(Resistencias,alternative="greater",paired=F,conf.level=0.99)
One Sample t-test
data: Resistencias
t = 8.9506, df = 8, p-value = 9.648e-06
alternative hypothesis: true mean is greater than 0
99 percent confidence interval:
16.99251 Inf
sample estimates:
mean of x25.12222
16.99251≤μ
Por lo tanto, la resistencia a la compresión promedio no debe sobrepasar los 16.99251 MPa.

El intervalo de confianza del 100(1-α) por ciento para la media de una distribución normal con varianza desconocida es:
X-t_(α/2,n-1) S/√n ≤ μ ≤ X+t_(α/2,n-1) S/√n

Para hallar los valores críticos superior e inferior que corresponden al porcentaje α/2 de la distribución tcon n-1 grados de libertad, usamos el siguiente comando sabiendo que α = 0.05:

> qt(c(0.05/2,1-(0.05/2)),8)
[1] -2.306004 2.306004

t_(α/2,n-1)=t_0.025,8=2.306004
25.12222-((2.306004 *8.42033)/√9)≤μ≤25.12222+((2.306004 *8.42033)/√9)

> t.test(Resistencias,paired=F)
One Sample t-test
data: Resistencias
t = 8.9506, df = 8, p-value = 1.930e-05
alternative hypothesis: truemean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
18.64978 31.59466
sample estimates:
mean of x
25.12222

Otra forma

> 25.12222-(2.306004*8.42033/sqrt(9))
[1] 18.64978
> 25.12222+(2.306004*8.42033/sqrt(9))
[1] 31.59466

18.64978≤μ≤ 31.59466
El intervalo de confianza bilateral del 99 % es
Con un α=0.01
> qt(c(0.01/2,1-(0.01/2)),8)
[1] -3.355387 3.355387...