Analisis Matematco

Facultad de Ingeniería de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica

SEGUNDO CONJUNTO DE PROBLEMAS ANALISIS MATEMATICO I
CICLO : SEGUNDO CICLO - LUNES 11 de MARZO de 2013 TURNO : MAÑANA – B515 - C203 - 2013 1 DOCENTE : RICARDO CHUNG CARRERA : INGENIERÍA ELECTRÓNICA – MECATRONICA – TEXTIL – BIOMEDICA TEMA : COMPOSICION – FUNCIONES ESPECIALES – LIMITE y CONTINUIDAD DE FUNCIONES_________________________________________________________________________________

SIMETRÍA. FUNCIÓN PAR. Si una función f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par. Ejemplo. Comprobar que f(x) = x2 es par. f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) Como f(-x) = f(x), entonces la función es par!

f (-x) -x x

f (x)

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. FUNCIÓNIMPAR. Si una función f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función impar. Ejemplo. Demostrar que f(x) = x3 es una función impar. f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x) Como f(-x) = - f(x), entonces la función es impar!

f (x)

1

-x f (-x)

x

La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Ejemplos. Determine si cada una de las siguientesfunciones es par, impar o ninguno de los dos. f(x) = x5 + x f(x) = 1 – x4 f(x) = 2 x – x2

Funciones pares e impares: Sea f una función tal que si x está en el dominio de f, -x también lo está: (i) f es una función par si f (-x) = f (x), para toda x en el domf. (ii) f es una función impar si f (-x) = f (x), para toda x en el domf. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al ejeyLa gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Ejemplos ilustrativos:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)]. 2

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

Primero actúala función f y después actúa la función g, sobre f(x). Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos: 1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x). 2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.Ejercicio: composición de funciones 1.- Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2. Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3. 2.- Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular: a) (g o f ) (x) b) (f o g ) (x) c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1) d ) El original de 49 para la función g o f. FUNCIONES SIMÉTRICAS Funciones pares Una función f es par cuando cumple f(x)= f(-x). Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y. Funciones impares Una función f es impar si cumple f(x) = -f(x). A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de1...). Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. Ejercicio: ejemplos de funciones pares e impares 1.- Indicar cuáles de estas funciones son pares: 2.- ¿Cuáles de estas funciones son impares?:

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Funciones inversas Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f-1(x) de forma quese verifica: si f(a) = b, entonces f-1(b) = a  Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: _ Despejar la variable independiente x. _ Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1. er cuadrante y del 3.er cuadrante. Ejercicio: cálculo de...