Analisis Matematico

I.N.S.P.T. – U.T.N.
Prof. Cozzani, Mario

Análisis Matemático I

Curso de Análisis Matemático I,
programado con ejercicios, problemas
y algunas ideas teóricas

Profesor: Lic. Cozzani, Mario

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Prof. Cozzani, Mario

Análisis Matemático I

Prólogo a manera de introducción.
Pensar en un curso de apoyo, para los alumnos del I.N.S.P.T. se
requiere a míentender de un enfoque tradicional.
El análisis matemático en todas sus facetas es una herramienta
fundamental en la construcción de modelos matemáticos para la
tecnología así como para el mundo físico.
Su aplicación en la industria y la ingeniería es muy extenso y
también cumple su cometido como uno de los instrumentos de
modelación más fructíferos. A ello debe agregarse que en el tiempo
actuales una época sumamente propicia para estudiarlas por medios
computarizados de resolución interactiva que pueden generar con
rapidez resultados inmediatos; sin los problemas que conllevan las
representaciones gráficas que son muy útiles para entender las
propiedades de los sistemas dinámicos.
Sin embargo, creemos firmemente que para que los estudiantes
adquieran una rápida resolución, unavisualización gráfica y una
utilización de los métodos numéricos,
deben tener una sólida
formación básica del enfoque tradicional.

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Análisis Matemático I

La Derivada
Introducción:
El problema es tan antiguo que lo podemos ubicar en (287 – 212 A.C.),
y lo referiremos al problema del trazado de la línea tangente a una
curva; y tiene unasituación equivalente que se obtiene alrededor del
1600, al intentar describir la velocidad de un móvil.
Los dos problemas, uno geométrico y otro mecánico, parecen no tener
mucha relación. Bueno; les vamos a mostrar que las apariencias
engañan, que ambos problemas son idénticos.
Todos los países del antiguo continente elaboran ideas sin dar
plenamente en el blanco, gloria reservada a unteólogo inglés, aficionado
a las matemáticas, que ideó la determinación de la recta tangente por el
cociente de incrementos. Tal es la sencilla idea de Isaac Barrow.

La línea tangente
La tangente es una línea que toca a una curva en uno solo punto. Anda
bien para la circunferencia y es perpendicular al radio. Pero esta idea
no funciona en la mayoría de las curvas.
Acertó Barrow, haciendo queun punto P sea fijo de la curva y otro Q
móvil de la misma curva.
Recta secante
y

(c + h; f (c + h))

Q

y

y = f (x)

f ( c + h ) − f (c )

Q
Q’
tangente

Recta tangente
Q’
P

P

c

Supongamos

que

c+h

el

la

x

curva

x

y = f (x) ,

el

punto

P(c, f (c))

y

Q (c + h, f (c + h)) ; la línea secante
PQ
tiene como pendiente
f (c + h ) − f(c )
msec =
; la línea secante que pasa por P y Q se transforma
h
en tangente cuando Q → P y Q ' → P , si no es vertical, la recta que pasa
f (c + h ) − f (c )
por P tiene pendiente mtgte = lim msec = lim
h →0
h →0
h

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Problema:
1) La mosca Clementina, camina de izquierda a derecha a lo largo de la
partesuperior de la curva y = 7 − x 2 . Genoveva, que es una araña astuta
espera agazapada en el punto (4,0 ) .
Hallar la distancia entre la mosca y la araña cuando se ven por primera
vez.

y = 7 − x2

Mosca

Araña
(4, 0)

Recta tangente

La pendiente de la recta tangente a la curva y = 7 − x 2 en el punto donde
está Clementina es − 2c .
f (c ) = 7 − c 2

mtgte = lim
h →0

f (c + h) =7 − (c + h ) = 7 − c 2 − h 2 − 2ch
2

f (c + h ) − f (c )
7 − c 2 − h 2 − 2ch − 7 + c 2
h(− h − 2c )
= lim
= lim
= −2c
h →0
h →0
h
h
h

La recta tangente trazada desde donde se encuentra Genoveva es:

y − f (c ) = f ' ( c )( x − c )

(

)

(

)

y − 7 − c 2 = − 2c ( x − c )
0 − 7 − c 2 = −2c(4 − c )
0 = c 2 − 8c + 7 ⇒ c1 = 1 , c 2 = 7
La ecuación de la recta...