Analisis multivariado

1.- Sean
A=21-2325 B=2-1341-2 C=213-124310

D=2-1-32 E=1122-13-32-1 F=102-3
Calcula en R lo siguiente
1. ABT
2. ATBT
3. 3C-2ETB
4. ATD+F
5. 2EAT
6. BT+AC

Declaración de matrices e R
A <- matrix(c(2,3,1,2,-2,5), nrow = 2, ncol = 3)
B <- matrix(c(2,3,1,-1,4,-2), nrow = 3, ncol = 2)
C <- matrix(c(2,-1,3,1,2,1,3,4,0), nrow = 3, ncol = 3)
D <-matrix(c(2,-3,-1,2), nrow = 2, ncol = 2)
E <- matrix(c(1,2,-3,1,-1,2,2,3,-1), nrow = 3, ncol = 3)
F <- matrix(c(1,2,0,-3), nrow = 2, ncol = 2)

1. ABT > t(A%*%B) [,1] [,2][1,] 5 17[2,] 6 -5 | 4. ATD+F > t(A)%*%(D+F) [,1] [,2][1,] 3 -5[2,] 1 -3[3,] -11 -3 |
2. ATBT > t(A)%*%t(B) [,1] [,2] [,3][1,] 1 18 -4[2,] 0 11 -3[3,] -9 14-12 | 5. 2EAT > (2*E)%*%t(A) [,1] [,2][1,] -2 30[2,] -6 38[3,] -4 -20 |
3. 3C-2ETB > (t(3*C-2*E))%*%B [,1] [,2][1,] 2 -62[2,] 25 33[3,] 30 15 | 6. BT+AC > (t(B)+A)%*%C [,1] [,2] [,3][1,] 1 11 28[2,] 7 17 30 |

2.- Calcula el rango de la siguiente matriz 121321-4-578-5-11014-28

Sabemos que el rango de una matriz es igual anúmero de renglones o columnas linealmente independientes, es decir, los renglones o columnas diferentes de cero al escalonar la matriz por medio de operaciones elementales entre matrices.

121321-4-578-5-11014-28-2R1+R2→R2-7R1+R3→R3-10R1+R4→R4~ 12130-3-6-110-6-12-220-6-12-222R2+R3→R3-2R2+R4→R4~ 12130-3-6-1100000000

Tenemos que la matriz tiene dos vectores linealmente independientesPor lo tanto el rango de la matriz es igual a 2.

3.- Demuestra que si A es una matriz simétrica no singular entonces A-1 es simétrica.

Dem.

Sea A una matriz de n×n simétrica y no singular, entonces

A=AT y detA≠0, es decir A es invertible

como ∃ A-1 ⇒ A-1=1detA adj A,

donde adj A=A11A12…A1nA21A22…An2⋮⋮An1An2…Ann y Aij es el cofactor o adjunto ij de A.
Sean aijlos elementos de A, con i,j=1,…,n, como A es simétrica ⇒ aij=aji ∀ i,j=1,…,n, además los menores complementarios son iguales, Mij=Mji. Así los cofactores o adjuntos son iguales, Aij=Aji, ya que
Aij=-1i+jMij=-1i+jMji=Aji
⇒
adjA es una matriz simétrica
⇒
A-1=1detA adj A es simétrica.

∴ Si A es una matriz simétrica no singular entonces A-1 es simétrica



4.- Sea A matrizp×p y B una matriz p×p. Demuestra que trAB=tr(BA) .

Dem.

Tenemos que
trAB=i=1pj=1paijbji=i=1pj=1pbjiaij=tr(BA)

∴ trAB=trBA

5.- Demuestra que A y AT tienen los mismos valores propios. ¿Podríamos decir algo acerca de los vectores propios asociados?

Dem.

Sea A una matriz de n×n y sean f(λ)A y f(λ)AT los polinomios asociados a A y AT respectivamente. Entoncesf(λ)A=detA-λI por propiedades de determinantes
=detA-λIT

=deta11-λa21…an1a12a22-λ…an2⋮⋮a1nan2…ann-λ
=deta11a21…an1a12a22…an2⋮⋮a1nan2…ann -λI

=detAT-λI= f(λ)AT

Por lo tanto A y AT tienen los mismos valorespropios.

6.- Demuestra que todas las raíces del polinomio característico de una matriz simétrica son números reales.

Dem.

Sea λ una valor propio de A con vector propio v; es decir, Av=λv. El vector v está en Cn, y el producto interno en Cn satisface

αx,y=αx,y y x,αy=αx,y

Entonces

Av,v=λv,v =λ〈v,v〉 … 1

Más aún, sabemos que si una matriz A de n×m con elementos reales, entoncespara cualesquiera dos vectores x,y ϵRn ; (Ax)∙y=x∙(AT y) y el hecho de que A =AT

Av,v=v,ATv=v,Av=v,λv =λ〈v,v〉 …(2)

Igualando 1 y (2) se tiene
λ〈v,v〉 =λ〈v,v〉… 3
Pero v,v=v2≠0, ya que es un vector propio. Entonces podemos dividir en ambos lados de 3 entre 〈v,v〉 para obtener
λ =λ

Si λ =a+ib, entonces λ=a-ib

⇒ a+ib=a-ib

Lo que se cumple si y sólo si b=0, entonces λ=a ϵ R. ∎...