Analisis Multivariado

Análisis multivariado
Dr. Barry Arnold

Referencias

T.W. Anderson
An Introduction to Multivariate Statistical Analysis
Third Edition, Wiley

James PREss
Applied Multivariate Analysis

Kotz, Balakrishman y Johnson
Continuos Multivariate Distributions Volumen 2

Recordar:

(Ω, β, Ρ) Espacio de probabilidad

Variable Aleatoria

X: Ω R, medible

X=(X1, …, Xk)’

X:Ω Rk, medible, la cuañ serámedible si y solo si las magnitudes son medibles

Si X es absolutamente contunia con r respecto a la medida de Lebesgue, existe su función de densidad fx(x), fx(x): Rk  Rt tal que Rkfxxdx=1

VALORES POSIBLES

SI X ES DE DIMENSION 1 , X ε R es un valor posible de X si papra cada ξ>0

Ρ(d(X,x) <ξ) > 0
Ρ(x- ξ) <X< x+ ξ)> 0
N ε(x)=| y d(x,y) < ξ|

En el caso de vectores, si X es de dimensión k, x ε Rk es un valor posible de x si para ξ > 0

Ρ(d(X,x) <ξ) > 0
Ρ(x- ε N ξ (x) )> 0

Para cada A C Rk

Ρ(X ε A)=…Afxxdx

X son los valores posibles de X

Es conveniente seleccionar
Fx(x) tal que x:fx(x)=x

Ejemplo:

X ≈v(0,1)

Fx(x)= (0<x<1)

Fx(x)= (0 ≤x ≤ 1)X=[0,1]

Si x es una variable aleatoria, su función de distribución está definida por:

Fx(x) = Ρ(X≤x, x ε R)
Si x es una variable aleatoria de dimensión k su función de distribución está dada por:

Fx(x=P(X≤x) x ε Rk
Fx1,…,xk (x1,…,xk)= Ρ(X1≤x1,…, X1≤x1)

Usualmente se tiene una variable aleatoria y su función de densidad, pero ¿cómo identificar su espacio de probabilidad (Ω,β, Ρ)? Se puede hacer en el caso de dimensión.

Sea X una variable aleatoria con función de distribución Fo (por ejemplo ϕ)

F-1 (u)-sup(x: Fx(x ≤u)
(por ejemplo ϕ-1)

grafica 1


Ω=(0,1), 8, Ρ=m (medida de Lesbesgue)

Grafica 2 y 3



x≈Bernoulli(p)




DISTRIBUCIONES MARGINALES

Notación:

xk=(x’, x’’)

dimensión k1

Seax’ un subvector de dimensión k1 de x , queremos obtener fx’(x’) o fx(x’)


Para ε Rk1 , fx’(x’ )= …Rk2fx(x)dx''

=…Rk2fx',x''(x',x'')dx''

Para ε Rk1

Fx’(x’)=fx,x’’(x’,∞’’)
=Ρ(X’≤x’,X’’≤x’’≤∞’’)

EVENTOS INDEPENDIENTES

A,B ε β; A y B son independientes si y solo si Ρ(AηB)=Ρ(A)Ρ(B) si tenemos una sicesión de conjuntos A1,A2,…, Ak ε β seránindependientes si cada colección Aη1,…,Aηm se cumple:

Ρ(i=η1ηmA1)=i=η1ηmP(Ai)

x1,…,xn son independientes si y solo si para cada A1,A2,…,Ak ε β

P(Xi ε A1)=i=1kpXi ε Ai, i=1,2,3,,…k

Si y solo si:

Fx(x)=i=1nFxixi ∨x ε Rk

En el caso de funciones de densidad

Fx(x) = i=1kFxixi ∨x ε Rk

x’ y x’’será independientes si y solo siFx(x)=Fx’’(x’’)Fx’(x’) ∨x ε Rk , x’’ ε Rk2 si x es absolutamente continua x’ y x’’ son independientes si y solo si fx(x)=fx’(x’)fx’’(x’’) ∨x ε Rk1 ∨x ε Rk2



DISTRIBUCIONES CONDICIONALES

Para x’’ con fx’’(x’’)>0 definimos la densidad condicional de x’|x’’=x’’ por:

Fx’|x’’ (x’|x’’)=fx(x)fx''(x'')=fx', x''(x', x'')fx''(x'') x ε Rk1

TRASFORMACIONES

Sea x una variable de dimensión x y se defineuna transformación:

Y=g(x)

Si conocemos Fx(x) entonces conocemos P(X ε A) ) ∨ A, sabemos
Fy(y), Fy(y)= P(Y≤y)=P(g(x)≤y)=P(X≤g-1(y))
Supongamos que x tiene valores posibles λ ε Rk y densidad fx(x), x ε λ

Sea y=g(x) en donde λ y ε Rk es una transformación invertible con función inversa g-1 y λ

La densidad de y existe t es de la forma:

Fy(y)=fx(g-1(y)) J (g-1), yε y

En donde:

J (g-1)= ||∂xi∂yi||

En el caso de que g no es invertible, hay que particionar λ=λ1, u…u λp, tal que g:XiYi es invertible para cada i= 1,2,3,…,p

Si y =g(x), g= Rk  Rk, l≠k usualmente la densidad resultante no será continua, si l hay que definir transformaciones adicionales para poder utilizar la técnica de Jacobianos.

Ejemplo:

Sea x1,...