Analisis y diseño de experimentos

ANALISIS Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS A continuación se dan las bases para estudiar EXPERIMENTOS CON UN FACTOR

Formalización
Recordemos que tenemos k tratamientos o niveles diferentes, y experimento hay na observaciones.

n réplicas de un solo factor, y como resultado del

N = Número total de observaciones del experimento.

N = nk

n Réplicas
1 2 Y12 Y22 : Ya2 ... ... ... ... ...

nY1n Y2n : Y2n

Totales

Promedios

k Niveles

1 2 :

Y11 Y21 : Ya1

Y1. Y2 .
:

Y 1. Y 2.
:

k

Ya .
Y ..

Y a. Y ..

Diseño balanceado Tabla ANOVA para un factor con a niveles

Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de libertad
2

Cuadrado Medio
SS Trat a −1

Fo
S2 B S2 W

Tratamientos SS Trat = SC T = [between groups] Error SS E = SC E = [withingroups]

∑ n (Y . − Y..)
a i i i =1 n

k-1

S 2 = MST = CM T = B

FC =

∑ ∑ (Y
a i =1 j=1

ij

− Yi .

)

2

n-k

S 2 = MSE = CM E = p

SS E N−a
2 SW = MSE

Total

SST = SSTrat + SS E o bien
SST = ∑
i =1 a

∑ (Y
n j =1

ij

− Y ..)

2

n-1

y es un buen estimador de

σ2

Esta guía presenta un ejemplo del diseño y análisis de los experimentos con unsolo factor con a niveles (a tratamientos). Se supone que las observaciones se realizan al azar “experimento completamente aleatorizado”. Ejemplo 12-1. En Design and Análisis of Experiments, 4ª edición [John Wiley & Sons], D.C. Montgomery describe un experimento en el que la resistencia a la tensión de una fibra sintética es de interés para el fabricante. Se piensa que la resistencia se relacionacon el porcentaje de algodón de la fibra. Se usan cinco niveles de porcentaje de algodón y se hacen cinco réplicas en orden aleatorio, obteniéndose los siguientes datos como resultado:

Diseño del Experimento

Réplicas n=5
FACTOR % DE ALGODÓN 15 20 25 30 35 1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11

Tratamientos a=5

a = Número de tratamientos oniveles del factor. Estos pueden ser fijos o aleatorios n = Número de réplicas

Tabla ANOVA
FV Tratamientos Error Total SC 475.76 161.2 636.96 GL 4 20 24 CM Fo 118.94 14.7568238 8.06

Deseamos probar la hipótesis
H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5

H 1 = al menos el promedio de un Tratamiento es diferente A un nivel de significancia dado

Otra forma de escribirla es suponiendo que hay unpromedio general µ 0

Cada valor del promedio puede alejarse mucho o poco del promedio general, si se eleja mucho se dice que el efecto es importante sino pues se dice que el efecto es pequeño. Con este razonamiento las hipótesis se pueden expresar de la manera siguiente
H 0 : τ1 = τ 2 = τ 3 = τ 4 = τ 5 = 0

H 1 = al menos un efecto es diferente de cero A un nivel de significancia dado

CuandoF0 ≤ f ( k −1),k ( n −1),α

Ho
NO SE RECHAZA

Es decir
Los tratamientos son iguales

Pvalue ≥ nivel de significancia
F0 ≥ f ( k −1),k ( n −1),α

o bien

Pvalue ≤ nivel de significancia

o bien

SE RECHAZA

Existe al menos un nivel que produce un efecto significativo al α.

Una vez evaluadas las hipótesis, que involucra la suposición de que los errores son independientes yestán distribuidos normalmente con media cero y varianza σ2, es necesario verificar esta suposición porque si no se cumple, los resultados del análisis de variancia no son validos. Para esto es necesario estimar los parámetros del modelo estadístico de un factor, definido por la ecuación:

y ij = µ + τ i + ε ij
donde: µ es la media, τi = es el efecto del tratamiento i-esimo. εij = es el i,j-error.La estimación de los parámetros se logra utilizando el método de mínimos cuadrados.
2 S ( µ ,τ i ) = ∑∑ ε ij = ∑∑ ( yij − π − τ i ) a n a n i =1 j =1 i =1 j =1 2

s.a 2 d a n yij − µ − τ i ) = 0 ∑∑ ( d µ i =1 j =1

d dτ i

∑∑ ( yij − µ − τ i ) = 0
a n i =1 j =1

2

Actividad 1. Demuestra que para el diseño de un factor el error esta definido por la relación: ε ij = yij − y ij...