AnilLos y Álgebras: Definiciones Básicas, EjempLos, y Los Teoremas De Homomorfismos Para anilLos

Universidad de Antioquia Fac. Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem´ticas a

Clases 1 y 2 ´ T´picos de Algebra CNM 900 o Profesora: Mary Luz Rodi˜o Montoya n

Unidad 1: Anillos y M´dulos. o

Clases 1 y 2. Anillos y ´lgebras: Definiciones b´sicas y ejemplos, y los teoremas de homomora a fismos para anillos

Anillo Un anillo es un conjunto no vacio R junto con dos operacionesbinarias llamadas adici´n (denotada por +) y o multiplicaci´n (denotada por ·), tales que para todo a, b, c ∈ R se cumple: o 1. (R, +) es un grupo abeliano. 2. “ · ” es asociativa, es decir (a · b) · c = a · (b · c). 3. “ · ” distribuye respecto a “ + ”, es decir (a + b) · c = a · c + b · c y a · (b + c) = a · b + a · c.

Un anillo (R, +, ·) es conmutativo si la operaci´n producto conmuta y es conunidad si existe un elemento o en R, denotado por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a para todo a ∈ R. Cuando no haya lugar a ambig¨edad diremos que R es un anillo sin especificar las operaciones suma y u producto, tambi´n escribiremos ab en lugar de a · b. La identidad aditiva ser´ denotada por 0 y el inverso aditivo e a de a por −a. Ejemplos 1. El ejemplo mas simple de anillo es el anillo trivial,obtenido a partir de un grupo abeliano R en el cual se define la multiplicaci´n as´ a · b = 0, para todo a, b ∈ R. Es f´cil ver que esta multiplicaci´n define un o ı: a o anillo conmutativo. En particular si R = {0} es el grupo trivial, el anillo resultante es llamado el anillo nulo y es denotado por R = 0. Excepto para el anillo nulo, un anillo trivial no tiene unidad. El anillo nulo es en el unico quese cumple que 1 = 0, para los dem´s anillos se impone la condici´n de 1 = 0. ´ a o 2. Los siguientes son ejemplos de anillos conmutativos con unidad. a) (Z, +, ·) con la suma y el producto usual definido en Z . b) (Zn , +, ·) con la suma y el producto m´dulo n. o c) (Z[x], +, ·) con la suma y el producto de polinomios.

3. M2 (Z) con la suma y el producto de matrices, es un anillo que no esconmutativo y tiene unidad, a saber la matriz identidad. 4. (2Z, +, ·) es un anillo conmutativo que no tiene unidad. 5. M2 (2Z) con la suma y el producto de matrices, es un anillo que no es conmutativo y no tiene unidad.

Algunas Propiedades: Sean a, b, c ∈ R. Entonces a) a0 = 0a = 0. c) (−a)(−b) = ab. b) a(−b) = (−a)b = −(ab). d) a(b − c) = ab − ac y (b − c)a = ba − ca.

Adicionalmente, si Rtiene unidad, entonces e) (−1)a = −a. f ) (−1)(−1) = 1.

Definici´n o Un elemento no nulo a de R, es un divisor de cero si existe un elemento no nulo b ∈ R tal que ab = 0 ´ ba = 0. o Sea R un anillo con unidad tal que 1 = 0. Un elemento a ∈ R es una unidad en R si existe alg´n b ∈ R tal que u −1 , al conjunto formado ab = ba = 1. Al elemento b se le llama inverso multiplicativo de a y se le denotapor a por la unidades de R se le denota U (R). Note que el conjunto de la unidades de R es un grupo bajo el producto, este grupo es conocido como el grupo de las unidades de R. Es claro que para poder hablar de unidades en un anillo es necesario que ´ste tenga e unidad. Notemos tambi´n que si un anillo tiene unidad esta es unica y que si un elemento de un anillo tiene e ´ inverso multiplicativo estees unico ´ Ejemplos 1. La unidades en Z son 1 y −1. 2. En Zn las unidades son los primos relativos con n, as´ el grupo de las unidades es U (n). ı Definici´n o Un anillo conmutativo con unidad es un dominio de integridad (D.I.) si no tiene divisores de cero. Un anillo con unidad es un anillo con divisi´n si para todo elemento no nulo a ∈ R existe un elemento b ∈ R tal que o ab = ba = 1. Un anilloconmutativo con unidad es un campo si todo elemento no nulo es una unidad. As´ un ı campo es un anillo conmutativo con divisi´n. o Ejemplos 1. El anillo de los enteros Gaussianos Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}, es un dominio de integridad. 2. Zn es un dominio de integridad para n primo y no es un D.I. cuando n no es primo.

3. nZ no es un dominio de integridad (n ≥ 2). 4. M2×2 (Z) no es un...