Anillos

Compacidad
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Bogot´ D.C. a Sergio Daniel Veloza Bernal Jairo Enrique Mendoza Jeniffer Rocio Rodriguez Equipo Misi´n Imposible o

1.

Introducci´n: o

Muchas veces es deseable poder unificar en una sola teor´ el tratamiento de ıa varios temas con el ´nimo de simplificar muchos argumentos y sugerir tambi´n a e otro tipo de relaciones entre losobjetos involucrados. Tal puede ser el caso del analisis y en particular en varias de sus demostraciones donde se involucra un recurso que consista en subdividir un determinado conjunto S en partes mas peque˜as para finalmente ver a S como contenido en la uni´n de una colecci´n n o o finita de conjuntos mas sencillos. Es as´ como en principio se sugiere la implementaci´n de nuevas definiciones ı o para darcabida a conceptos como el de conjuntos compactos.

2.
2.1.

Compactos:
Definici´n de Conjunto Compacto: o

Un conjunto S de n se llama compacto si y solo si, cada recubrimiento abierto de S contiene un subrecubrimietno finito; esto es, una subcolecci´n finita o que tambi´n recubra a S. e

2.2.

Teorema de Heine-Borel:

Sea F un recubrimiento abierto de un conjunto A de Rn , cerrado yacotado. Entonces existe una subcolecci´n finita de F que tambi´n recubre a A. o e

2.3.

Ejemplos:

Mostramos algunos ejemplos de Compacidad y espec´ ıficamente que conjuntos son Compactos: 2.3.1. Ejemplos de No Compactos

1. Considere al conjunto H = {x ∈ R/ x ≥ 0}. Sea Gn = (−1, n) con n ∈ N de tal manera que {Gn /n ∈ N} Sea una colecci´n de subconjuntos abiertos o de R cuya uni´ncontenga a H. Si {Gn1 , Gn2 ....Gnk } es una subcolecci´n finita o o de {Gn /n ∈ N}. Sea M = sup {n1 , n2 , .....nk } de tal manera que Gni ⊂ Gnk de aqu´ deducimos que GM es la uni´n de {Gn1 , Gn2 ....Gnk }. Sin embargo el ı o numero real M no pertenece a GM y por lo tanto no pertenece a j=1 Gnj (desde j=1 hasta k). En consecuencia ninguna uni´n finita de {Gn /n ∈ N} o puede contener a H por lo tanto H noes compacto.

1 2. Sea S = { n }n∈N ∗ queremos probar si es ´ no, un conjunto compacto. o 1 1 1 An de R, admite un recubrimiento X1 = { 2 < x < 2} y Xn = { n+1 < x < n−1 } 1 para n > 1, es claro que Xn contiene el punto n luego la n∈N ∗ Xn es un recubrimiento abierto de S, pero como cada Xn contiene unicamente el punto ´ 1 de S, no existe ningun subrecubrimiento finito que recubra o contenga a Sen n su totalidad. A partir del teorema de Heine-Borel si S es cerrado y acotado , F un recubrimiento de S, entonces existe un subrecubrimiento finito de S, es decir S es compacto. De donde en efecto S no es cerrado dado que:

1 S = { }n∈N ∗ n Sea S = {0, 1, 1/2, ....,1/n} adherencia de S. y sea S d = {0}. Debido a que ¯ S = S y que ninguno de sus puntos es de acumulaci´n, S no es cerrado, luegoo S no es compacto. 3. Un Disco abierto en
2

NO es compacto:

Se puede mostrar que para un cubrimiento abierto Ψ = σn que se d´, no existe e un recubrimiento finito Ψk de tal manera que S ⊆ Ψk . con S = {x ∈
2

/ x < 1}
2

entonces tomar Ψ = {σn } un cubrimiento infinito donde σn = { x ∈ 1 x < 1− n } De donde Ψ = S cuando n → ∞

/

Entonces la uni´n de culaquier subcolecci´n de Ψque sea finita no cubre a o o S. Pues si Ψk = {σn } con n ∈ I I = {1, 2, 3, ....k} Entonces Ψk es un disco de radio a lo m´s 1 − a no es subconjunto de Ψk
1 k

< 1 y por lo tanto S

2.3.2.

Ejemplos de Compactos

1 Teorema. Sean X, Y , compactos. Demustrese que X × Y es compacto. Demostraci´n. o Sea {ui } i ∈ I un recubrimiento abierto de X × Y . Entonces para todo p ∈ X × Y existe i ∈ Ital que p ∈ ∪i y existen unicos Vp y Wp en X, Y respectivamente tales que p ∈ vp × wp . La familia {vp xwp }p∈X×Y forma un recubrimiento abierto de X × Y . Para todo punto x0 que pertenece a X se verifica que {x0 } × Y es homeorfo a Y luego {x0 } × Y es compacto. La familia {Vp ×Wp }p∈X×Y forma un recubrimiento abierto de x0 × Y luego existe un subrecubrimiento finito Vx1 , ......Vxn para cada Vxi...