Anillos

Título Página.
1.-Anillos…………………………………………. 3

2.-Propiedades de los Anillos…………………….. 4

3.- Subanillos……………………………………… 5

4.-Algunas clases especiales de Anillos…………… 6

5.-Homomorfismos………………………………… 8

6.- Ideales…………………………………………… 10

6.1- Ideales Principales…………………………………….. 10

6.2-Ideales Primos y Maximales…………………………… 11

Se dice que un conjunto no vacío R forma anillo con respecto a las operaciones binarias de adición (+) y multiplicación (∙), si para cualesquiera a,b,c ∈ R se verifican las siguientes propiedades:

P1: a+b+c=a+b+c (ley asociativa de la asociativa)

P2: a+b=b+a(ley conmutativa de la adición)

P3:Existe un z ∈ R tal que a+z=a (existencia de un neutro aditivo (el cero))

P4:Para todo a∈R existe-a ∈R talque a+-a=z
(existencia de simétricos aditivos)

P5: a∙b∙c=a∙b∙c (ley asociativa de la multiplicación)

P6: a∙ b+c=a∙b+a∙c

P7: b+c∙a=b∙a+c∙a(leyes distributivas)

Algunos ejemplos básicos de anillos son:
*Los enteros constituyen un anillo conmutativo y unitario.
* Definimos y lo dotamos de la suma y el producto de Z este constituye un anillo conmutativo no unitario.
* Los números reales (R,+,*).
Ejemplo: Dado que las propiedades enumeradas son solo unas cuantas de las propiedades comunes a Z,Q,R y C dotadosde la adición y multiplicación ordinarias, se sigue que estos sistemas son ejemplos de anillos.

Ejemplo : El conjunto S=x+y33+z39 :x,y,z ∈Q es un anillo con respecto a la adición y multiplicación en R. Para probar esto, primero se demuestra que S es cerrado con respecto a estas operaciones. Se tiene para
a+b33+c39, d+e33+f39∈S,

a+b33+c39+d+e33+f39=a+d+b+e33+(c+f)39∈S

ya+b33+c39d+e33+f39=ad+3bf+3ce+ae+bd+3cf33+(af+be+cd)39∈S

Se ve en seguida que se cumplen puesto que S es un subconjunto del anillo R .
Por último, 0=0+033+039 da cumplimiento a P3 y para cada x+y33+z39∈S, existe –x-y33-z39∈S, lo cual cumple P4. Así, pues, S se tiene todos los requisitos de un anillo.

Las propiedades elementales de los anillos son análogas a las de Z, que no dependen ni de la leyconmutativa de la multiplicación ni de la existencia de un neutro multiplicativo. Anotamos algunas de estas propiedades:

(i) Todo anillo en un grupo aditivo es abeliano.
(ii) Existe un elemento neutro aditivo único, z (el cero del anillo).
(iii) Cada elemento tiene un simétrico aditivo único (el opuesto de dicho elemento).
(iv) Se cumple la ley de cancelación para la adición.(v) –-a=a, -a+b=-a+-b para cualesquiera a,b del anillo.
(vi) a∙z=z∙a=z.
(vii) a∙-b=-ab=(-a)∙b.

Un subanillo de un anillo es un subconjunto que cumple que es cerrado para la suma y la multiplicación en el anillo, esto es, sientonces . Si (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no serásubanillo de , y sí lo será si no es unitario.
Un subanillo es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si.
Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, es un subgrupo de .
Pero en la Teoría de Anillos hay un tipo de subconjunto más notable aun que el de subanillo, el de ideal (del cual se hablara mas adelante).Ejemplos:
a) .
b)Definimos .
Entonces .
c)Todo anillo A tiene por lo menos dos subanillos .
d)Para cualquier entero positivo .

Definición. Si es un anillo conmutativo entonces se dice que es un divisor de cero si existe un tal que
Definición. Un anillo conmutativo es un dominio entero si no tiene divisores de cero.
El anillo de los enteros es un ejemplo de dominio entero.
Definición....