Anillos

INTRODUCCION A LA TEORIA DE ANILLOS

INTRODUCCION A LA TEORIA DE ANILLOS

NOMBRE: MARIE SAENZ
CARNE: 0640278

ANILLOS
DEFINICION DE ANILLOS: Un anillo A es un conjunto no vacío con dos operaciones + , · tales que:
1. (A,+) es un grupo abeliano
2. a·b ϵA ∀ a,b,c ϵA
3. (a·b)·c= a·(b·c) ∀ a,b,c ϵA
4. a·(b+c)=a·b + a·c y (b+c)·a=b·a + c·a ∀ a,b,c ϵA
EJEMPLOS
*Mnxn(R), junto con las operaciones de suma y multiplicación usual de matrices es un anillo.
* Sea X un conjunto no vacion y sea P(X) la colección formada por todos los subconjuntos de X, es decir, P(X) = S: S⊆X para A,B ϵ P(X) se define A+B=A∪B∖A∩B
A∙B=A∩B
Entonces P(X) junto con estas dos operaciones es un anillo.
* Sea R1…Rn n anillos. Para a,b ∈ i=1nRi= R1× R2 ⋯×Rn donde a=(a1,a2,⋯,an), b=(b1,b2,⋯,bn)
Se define,
a+b=( a1+ b1,a2+b2,⋯,an+bn)
a∙b=( a1∙ b1,a2∙b2, ⋯,an∙bn)
Entonces i=1nRi junto con estas dos operaciones es un anillo.

PROPIEDADES DE LOS ANILLOS
LEMA: Sea R un anillo. Entonces:
1. a.0=0.a=0
2. (-a)b=a(-b)=-(ab)
3. (-a)(-b)=ab
4. (na)(mb)=(nm)(ab); ∀a,b ∈ R, ∀ n,m ∈ Z
DOMINIOS Y CUERPOS
DEFINICION DE ANILLO CONMUTATIVO: El anillo A se diceconmutativo si cumple que a.b=b.a ∀a,b ∈ A.
DEFINICION DE ANILLO CON IDENTIDAD: El anillo A se dice con identidad si existe un elemento del anillo denotado por 1≠0 tal que cumple que a.1=a para todo a ∈ A.
TEORMA: Sea A un anillo con identidad entonces:
i-) –a=-1*a ∀a ϵ A
ii-) m* (a) = (m *1) * a ∀a ϵ A , ∀ mϵ Z.
DEFINICION DE DIVISOR DE CERO: Sea A un anillo y a ϵ A: a se dicedivisor de cero si existen b, c ϵ A tales que b*a=a*c=0 y b,c≠0.
Unidades: Sea A un anillo con identidad y u ϵ A , u se dice unidad( o invertible) si existen v,w ϵ A tales que v*u=u*w=1
Ejemplo: Sean R 1 ,R 2,…..,Rn … anillos conmutativos y con identidad y sea a =( a1, …..,an ….. ) ϵ k=1nRk entonces:

i-) a es divisor de cero sí y sólo si ∃ i tal que ai es divisor de cero de R i .
ii-)a es una unidad sí y sólo si ai es una unidad de R i para todo i.
Notación: Si A es un anillo con identidad. Denotaremos por ⋃(A) al conjunto formado por todas las unidades de A.
TEOREMA: Si A es un anillo con identidad, entonces (⋃(A) , *) es un grupo.
DEFINICION DE ANILLO DE DIVISION: El anillo A se dice de división si ⋃A=A ∖0
DEFINIICION DE DOMINIO DE INTEGRIDAD: Un anillo A,conmutativo y con identidad se dice que es un dominio de integridad si el cero (0) es el único divisor de cero.
DEFINICION DE CUERPO: Un anillo conmutativo A se dice que es un cuerpo si es un anillo de división.
TEOREMA: Sea n ϵ N, n >1.La siguientes condiciones son equivalentes:
i-) Z n es un dominio de integridad.
ii-) n es primo.
iii-) Z n es un cuerpo.
SUBANILLOS HOMOMORFISMOS IDEALESDEFINICION DE SUBANILLO: Sea R un anillo y S⊆ R. S se dice subanillo de R si S es un anillo con las operaciones de suma y multiplicación definidas en R.
TEOREMA: Sea R un anillo y S⊆ R . Entonces, S es un anillo de R sí y sólo si se cumple:
i-) S≠ ∅
ii-) x*y, x-y ϵ S , ∀ x,y ϵ S
TEOREMA: Sea (Si ) con i ϵ J, una familia de subanillos de R. Entonces i ϵ J Si es un subanillo de R.Demostración: Pongamos B= i ϵ J Si .Entonces B≠∅ , pues 0 ϵ Si ,∀ i ϵ J y así 0 ϵ B. La propiedad ii-) de cerradura es evidente de probar.
Notación: Sea R un anillo, S⊆ R y i ϵ R , con S≠ ∅. Denotaremos por
Si = s0 + s1i + s2i2 +….+ sn in : s0 , s1,...,sn ϵ S, n ϵ N∪0
TEOREMA: Si S es un subanillo de R y i ϵ R cumple: i*x = x*i ,∀ x ϵ S; entonces, Si es un subanillo de R; y además contienea S.
Demostración: Si ≠∅ pues S⊆ Si , veremos que x*y, x-y ϵ Si ,∀ x, y ϵ Si . Sean x, y ϵ Si;
x=a0 + a1i +a2i2 + ...+anin
y = b0 + b1i + b2i2 + ... +bnin, bk, , aj ϵ S, n ϵ N∪0.
Ahora, x-y=( a0 + a1i +a2i2 + ...+anin) –( b0 + b1i + b2i2 + ... +bnin)
= (a0 - b0) + (a1 - b1) i + …+ (an- bn) in.
(aj - bk ) ϵ S, j = k , Entonces x-y ϵ Si
x*y = ( a0 + a1i +a2i2 +...