Animales que tengo.

´
CALCULO
I

E. E. INDUSTRIAL

CURSO 2014-15

BOLET´
IN 2
(1) Sean {xn } e {yn } dos sucesiones de n´
umeros reales:
(a) Si {xn + yn } es convergente, ¿se puede deducir de ello que {xn }e {yn } son
convergentes?
(b) Si {xn } y {xn + yn } son convergentes, ¿se puede deducir de ello que {yn }
es convergente?
(c) Si {xn } y {xn yn } son convergentes, ¿se puede deducir de ello que{yn } es
convergente?
(2) Sea {xn } una sucesi´on en R. Si {xn } → x, ¿es {x2n } convergente? Si {x2n }
converge, ¿es {xn } convergente?
(3) Decir si son verdaderas o falsas las siguientesafirmaciones, justificando las respuestas:
(a) Toda sucesi´on mon´otona decreciente de t´erminos positivos es convergente.
(b) La sucesi´on
{2, 2.2, 2.23, 2.234, 2.2345, ....}
es convergente.
(4) Probarque las siguientes sucesiones recursivas son convergentes y calcular su
l´ımite:

 x1 = 1
xn
(a)
 xn+1 =
, n ≥ 1.
1 + xn
{
x1 = 1
(b)
√
xn+1 = 3 1 + 2xn − 3 , n ≥ 1.

 x1 = 1
(c) xn+1 = 2xn + 3 , n ≥ 1.
4
(5) Utilizar la regla de Stolz para calcular
u1 + 2u2 + · · · + nun
n→∞
n2
lim

y

lim

u1
1

+

n→∞

+ ··· +
ln(n + 1)
u2
2

un
n

,

sabiendoque lim un = a ∈ R.
n→∞

(6) Hallar el valor de lim xn en los siguientes casos:
n→∞

((

3n (n!)2
(a) xn =
(2n)!
(
(c) xn =

2n
2n + 1

)3n

)
)n2
n
(b) xn =
sen(n3 )
n+2
(
)cos n2 + 2n + 1 + sen(nn )
(d) xn =
n!

1

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CALCULO
I

E. E. INDUSTRIAL

CURSO 2014-15

2

(7) Calcular los siguientes l´ımites:
ln nn
n!
lim
lim
n→∞ ln n!
n→∞ (2n)n
]
[ln(1 + en )
(n − 3)n 1/n
lim
lim
n→∞ (n − 4)!
n→∞
n
( ) 1
(√
)
1 ln(3/n)
lim
lim
n2 + 2n − 1 − 4n
n→∞ n
n→∞
(
)
) n2 +2
(
ln(n + a) n ln n
n+1 n−3
lim
lim
n→∞ n−1
n→∞
ln n
πnlim
n→∞ 1 + 22n
√
n n!
lim
n→∞
nn

lim

1
2

+

33
42

+

54
63

(

(2n−1)n+1
(2n)n

n2

n→∞

1
lim √
n→∞
a+n

+ ··· +

1
1
1
√ + √ + ··· + √
4n
+1
1...