antiderivadas

Integrales
Antiderivadas
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar
una función que, al ser derivada produce la función dada. La antiderivada también se conoce como la
primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde, f(x) es el integrando; dx, la
variable de integración o diferencial de x y Ces la constante de integración, lo que denotamos por,

∫ f ( x)dx =F ( x) + C
f ( x ) = ( F ( x ) + C )' (Teorema Fundamental del cálculo) TFC

Y se verifica que
Ejemplo:

∫

Tenemos 4dx ,la pregunta es que función F(X)+C debemos derivar para obtener la función f(x)=4. En
efecto tenemos varias alternativas
i)
ii)
iii)

Si F(x)=4x
entonces F’(x)=4
Si F(x)=4x -8 entonces F’(x)=4Si F(x)=4x +1/5 entonces F’(x)=4

Evidenciamos que existe una familia de antiderivadas que satisfacen el TFC, entonces generalizamos a estas
familias de antiderivadas con la expresión,
Si F(x)=4x +C entonces F’(x)=4
Así podemos concluir que:

∫ 4dx = 4x +C

y verificamos que F’(x)=4=f(x)

Ejercicios
1.- Mediante derivación, compruebe que F(X) es la primitiva o antiderivada más generalde f(x).Es decir
verificar TFC.

x2
1 + x3

F ( x) =

a)

f ( x) =

b)

f ( x) = x 3 Ln( x) F ( x) =

*c)

f ( x) = e − x x 2

1
Ln(1 + x 3 ) + C
3
1 4
1
x Ln( x) − x 4 + C
4
6

F ( x ) = − e − x ( x 2 + 2 x + 2) + C

2.- Hallar la Antiderivada (primitiva) de los siguientes ejercicios. Verifica tu respuesta encontrando su
derivada.
a)

f ( x) = x 3 + 5 x

b)f ( x) = −



1
x2

c)

f ( x) =

2
3
+ 2 +5
3
x
x

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Apunte/Taller RA2 (Integrales)
3.- Simplificar cada una de las expresiones dadas en las integrales y encontrar la primitiva o antiderivada.

a)

* d)

g)

b)

∫(

5
x

− 5 x 3 )(3 − x) 3 =

x 2 − 3x + x 4
∫ x 3 dx =

1
e 4 x − 2e x − x
3 dx =
* j) ∫
2
e

h)

x −3 − 2
∫ x 2 dx =

e)x 4 − 2 x + 12
∫ x 2 dx =

e 4 − 2e x + 3 x
dx =
∫
e2

x −3 − 2
∫ x 2 dx =

k)

∫

c)

i)

∫ (5v − v
∫

f)

∫ (5e

v

−4

1
+ )dv
v

(1 − 4 x ) 2 =

1
− ve −4 − )dv
v

1 1 2
− x
x 3 dx =
e2

4) Para las siguientes razones encontrar la primitiva.
3

a) Si el costo Marginal es q para un costo total de 100 um y q=10
b) Si el Ingreso Marginal -5q paraun Ingreso total de 200 um y q=12
c) Si la Utilidad Marginal es -3q para una utilidad total de 300 um y q=5
d) Si la razón representa variaciones de ventas, la función primitiva es___________________
e) Si la razón representa variaciones de consumo, la función primitiva es_________________
f) Si la razón representa variaciones de producción, la función primitiva es________________M.Iglesias/M.Echeverría/M.Lagos

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Apunte/Taller RA2 (Integrales)
Integración por sustitución o cambio de variable.



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Apunte/Taller RA2 (Integrales)
Ejercicios

a)

b)

∫

f ) (5e − ve
v

−4

1
− ) dv
v

c)

d)
5

* g) ( y − 5)e dy =

∫

y

i)

∫

−

y
2

4e dy =

3

I n t e g r al D e f i ni d a La definición de integral se dicecomo sigue:
•

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la grafica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x
= b.
Para hallar el valor de una integral definida se utilizan las mismas reglas y propiedades de integración de
la integral indefinida. Por lo tanto es válidotambién el TFC.
b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a

2

Ejemplo, Hallar

∫ ( x + 2)dx
1

2

Utilizando propiedades tenemos

2

x

2

2

1

5

∫ xdx + 2∫ dx = 2 + 2 x 1 = 2 + 2 * 2 − ( 2 + 2 *1) = 2
1

1

Aplicaciones.Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como
integrales definidas. Cualquier función presentada como...