Antiderivadas

ANTIDERIVADAS
La antiderivadas es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
Laantiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f enun conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.
 

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

Definiciones de derivada

Esquema que muestra losincrementos de la función en x y en y.
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto  de lafunción por el resultado de la división representada por la relación , que como puedecomprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto  de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de  es siempre el mismo.Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
Definición como cociente de diferencias

Recta secante entre f(x) y f(x+h).
La derivada de una función  es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de  en . Sin elconcepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneassecantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número  relativamente pequeño.  representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendientede la línea que cruza los dos puntos  y  es:
.

Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de  en  es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de  existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de  comola función cuyo valor en cada punto  es la derivada de  en .
Puesto que sustituir  por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la  del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto....