ANTOLOGIA BLOQUE 3

2013
ANTOLOGIA COMENTADA
CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD AUTONOMA
DEL CARMEN
ESCUELA PREPARATORIA CAMPUS II

TRINIDAD DEL CARMEN
RODRIGUEZ CAMARA

ANTOLOGIA COMENTADA CALCULO INTEGRAL

Objetivo: : Identifica

las aplicaciones el
teorema
fundamental del
calculo

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Integral definida. Definiciones y propiedades.
Definición: Dada una función no negativa f(x), yun intervalo [a, b] en el cual la
función esté definida, llamaremos integral definida de f(x) en [a, b] al área encerrado
por la curva f entre a y b, y el eje OX.
b

Lo denotaremos

 f ( x)dx ,
a

b

R  Área de f ( x)   f ( x)dx  Integral definida de f ( x) en a, b
a

Definición: Dado un intervalo [a, b], llamaremos partición de ese intervalo a un
conjunto cualquiera de puntos de [a, b], P= {x0, x1, x2, ……. , xn} tales que:
a = x0 < x1 < x2 < x3 <……..< xn = b.

Definición: Llamaremos diámetro al mayor de los números x1 – x0, x2 – x1, ……….,
xn – xn-1.

Consideramos entonces una función f(x) definida en un intervalo [a, b], y tracemos
rectángulos de base los anteriores divisiones hechas en ese intervalo y de altura el
menor y el mayor de los valores de la función, respectivamente,en dichas divisiones.
Obtendremos una aproximación con rectángulos por defecto y otra aproximación de
rectángulos por exceso.

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Aproximación con rectángulos por exceso

Aproximación de rectángulos por defecto
Como puede verse, el área encerrada por la curva se encuentra entre una y otra
aproximación, a las que llamamos sumas inferior (Sinf ) y superior deRiemann (Ssup)
respectivamente, asociadas a la partición P.
Sinf < Área de f(x) < Ssup
Cuando vamos tomando particiones con un diámetro cada vez menor, entonces
esas aproximaciones son cada vez más próximas entre sí y, por tanto, al verdadero
valor del área, de forma que cuando el diámetro de la partición tiende a 0 las
aproximaciones tienden a dicho área.

Cuando n tiende a infinito, es decir,cuando aumenta el número de
subintervalos, entonces:
b

lim S inf  lim S sup   f ( x)dx  Área de f ( x)  Integral definida
n 

n 

a

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A esto se le conoce como integral de Riemann y viene a decir que el área
encerrada por una función equivale a una suma infinita de rectángulos, bien
superiores o bien inferiores, ya que en el fondo, suman lo mismo.Propiedades de la integral definida.
Dada una función integrable f en [a, b], entonces:
o Si f  0 en [a, b] entonces

b

 f ( x)dx  0. (es decir, si la función es positiva, el valor de la
a

integral también lo será. Por tanto, cuando la función sea negativa, la integral será
también negativa)
a

o

 f ( x)dx =0.
a
b

o Si a < c < b, entonces:


a

o

o

o

b

a

a

b

c

b

a

c

f ( x)dx = f ( x)dx +  f ( x)dx

 f ( x)dx =   f ( x)dx
b

b

b

a

a

a

 f ( x)dx +  g ( x)dx =  ( f ( x)  g ( x))dx
b

b

a

a

k  f ( x)dx =  k · f ( x)dx

3.- Teorema fundamental del cálculo integral.

Antes de demostrar el teorema fundamental, debemos dar una serie de
definiciones y demostrar otro teorema previo.
Teorema del valor medio del cálculo integral:
b

Si f es continua en [a, b],entonces existe c  [a, b] tal que:  f ( x)dx = f(c)·(b – a)
a

Demostración:
Si f(x) es continua entonces alcanza un valor máximo M y uno mínimo m en [a,b]
luego el área de la función estará comprendida entre la del rectángulo pequeño, de
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altura m y área m·(b-a), y el área del rectángulo grande, de altura M y área M(b-a), es
decir:

b

m(b-a)   f ( x )dx M(b-a) ,

M

a

que dividiendo entre (b-a) nos queda:

f(x)

b

m

 f (x )dx
a

ba

M

m
a

b

Como la función f(x) es continua, toma todos los valores comprendidos entre el
máximo y el mínimo, ya que se debe cumplir el teorema de Darboux es decir, k 
[m,M], c  [a, b] tal que f(c)=k
b

 f (x )dx
Concretamente si k=

a

ba

(que es un valor comprendido entre m y M) entonces,

b

c ...