Aplica01

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica
Boletín no 1 (Aplicaciones).
1. La policía descubre el cuerpo de una profesora de ecuaciones diferenciales. Para resolver
el crimen es decisivo determinar cuándo se cometió el homicidio. El forense llegó al
medio día y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 30 grados Celsius.
Espera una hora yobserva que la temperatura del cuerpo ha disminuido a 29 grados
Celsius. Asimismo, observa que la temperatura de la habitación es constante a 27 grados
Celsius. Suponiendo que la temperatura de la víctima era normal en el momento de su
fallecimiento (37 grados Celsius), determinar la hora en que se cometió el crimen.
Solución:
Para determinar la hora del crimen, hacemos uso de la ley de enfriamientode Newton
que establece que la tasa de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo con respecto
al tiempo t es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del ambiente. La
ecuación que rige esta ley se formula
dT
= k (T − A)
dt
con k constante real.
En nuestro caso tenemos que la ecuación diferencial viene dada por
dT
= k (T − 27)
dt
y, puesto que se trata de una ecuación de variablesseparables, es fácil calcular su solución
general, la cual viene dada por
T (t) = 27 + Cekt
Ahora bien, observando las condiciones del problema, y considerando el medio día como
t = 0, tenemos que
T (0) = 30
T (1) = 29
De aquí se obtiene que C = 3 y k = ln 23 = −0.4055. Por tanto,
T (t) = 27 + 3e−0.4055t
1

Teniendo ahora en cuenta que en el instante de su muerte, la temperatura de la victima
erade 37 grados Celsius,
37 = 27 + 3e−0.4055t =⇒ t = −

10
1
ln
≈ −3
0.4055
3

Lo que se traduce en que la víctima murió tres horas antes del medio día, esto es, a las
9:00 horas.
2. Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t = 1h., la cantidad medida
de bacterias es (3/2)P0 . Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de
bacterias presentes P (t) en el momento t,calcular el tiempo necesario para triplicar la
cantidad inicial de microorganismos.
Solución:
El problema de valores iniciales que modela el crecimiento de las bacterias viene dada por
⎫
dP
⎪
= kP ⎪
⎬
dt
⎪
⎪
x (0) = P0 ⎭
Resolvemos la ecuación diferencial, la cual observamos que es separable ( y lineal)
dP
= kP ⇐⇒ dP = kP dt ⇐⇒ P (t) = Cekt
dt
Cuando t = 0, se tiene que P0 = Ce0 y porconsiguiente,
P (t) = P0 ekt
Cuando t = 1, tenemos que 32 P0 = P0 ek de donde k = ln 32 = 0.4055. Así P (t) = P0 e0.4055t .
Para establecer el momento en que triplica la cantidad de bacterias despejamos t de
3P0 = P0 e0.4055t obteniendo
t=

ln 3
≈ 2.71h
0.4055

3. a) Supóngase que un tanque mezclador contiene 300 galones de salmuera. Otra solución
de salmuera se bombea al tanque a razón de 3 galones porminuto; la concentración de
la sal que entra es de 2 libras por galón. La solución bien agitada se desaloja a la misma
razón. Si inicialmente había 50 libras de sal disueltas en los 300 galones. ¿Cuánta sal
habrá en el tanque pasado mucho tiempo?
b) Repetir el ejercicio suponiendo que la solución bien agitada sale a un flujo de 2 galones
por minuto.
2

Solución:
a) Para hallar la cantidad de sal encada instante A(t), tenemos en cuenta que
dA
= A1 − A2
dt
donde
A1 = tasa de entrada de la solución = (3 gal/min)
µ · (2 libras/gal)¶
A
A2 = tasa de salida de la solución = (3 gal/min) ·
libras/gal
100
Así, debemos resolver el problema de valor inicial dado por
⎫
A ⎪
dA
⎪
=2·3−
⎬
dt
100
⎪
⎪
⎭
A (0) = 50

Se trata de una E.D.O. lineal cuya solución general viene dada por A(t) = 600 + Ce−t/100 .Ahora bien, cuando t = 0, se tiene que A = 50, y de aquí C = −550. Luego, la cantidad
de sal en el tanque en cada instate t está dada por
A(t) = 600 − 550e−t/100 .
Tomando límite en la expresión anterior cuando t → ∞, se puede observar que la cantidad
de sal pasado un largo tiempo debe ser de 600 libras.
b) En este caso, la razón con que entra la solución al tanque no es la misma que la razón
con...