Aplicaciones de los derivados

Derivado
Para otras aplicaciones, vea Derivado (desambiguación).
Para una descripción no técnica del tema, vea Cálculo diferenciado.
En cálculo, un rama de matemáticas, derivado es una medida de cómo a función cambia cuando los valores de sus entradas cambian. Libremente hablando, un derivado se puede pensar en como cuánto una cantidad está cambiando en un cierto punto dado. Por ejemplo, elderivado de la posición o de la distancia de un coche en un cierto punto a tiempo es la velocidad instantánea, o la velocidad instantánea (respectivamente), a la cual ese coche está viajando (inversamente integral de la velocidad está la posición del coche).
Una noción de cerca relacionada es diferencial de una función.
El derivado de una función en un valor elegido de la entrada describe el mejoraproximación linear de la función cerca que entró valor. Para a función real-valued de una sola variable verdadera, el derivado en un punto iguala cuesta de línea de la tangente a gráfico de la funciónen ese punto. En dimensiones más altas, el derivado de una función en un punto es atransformación linear llamó linearización.[1]
El proceso de encontrar un derivado se llama diferenciación. teoremafundamental del cálculo estados que la diferenciación es el proceso reverso a integración.
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Diferenciación y el derivado
Diferenciación es un método para computar la tarifa en la cual una cantidad, y, cambios con respecto al cambio en otra cantidad, x, sobre que está dependiente. Este índice del cambio se llama derivado de y con respecto a x. En una lengua más exacta, la dependencia de y enx significa eso y es a función de x. Si x y y sea números verdaderos, y si gráfico de y se traza contra x, el derivado mide cuesta de este gráfico en cada punto. Esta relación funcional se denota a menudo y = f(x), donde fdenota la función.
El caso más simple es cuándo y es a función linear de x, significando que el gráfico de y contra x es una línea recta. En este caso, y = f(x) = m x + c, paralos números verdaderos m y c, y la cuesta m se da cerca
donde el símbolo Δ (la forma mayúscula de la letra griega Delta) es una abreviatura para “fórmula del pulg. del cambio este” es verdad porque
y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.
Sigue ese Δy = m Δx.
Esto da un valor exacto para la cuesta de una línea recta. Si la función f no es linear (es decir. su gráfico noes una línea recta), sin embargo, después el cambio adentro y dividido por el cambio adentro x varía: la diferenciación es un método para encontrar un valor exacto para este índice del cambio en cualquier valor dado de x.
La idea, ilustrada por Figures 1-3, es computar el índice del cambio como valor límite de cociente de las diferencias Δy /Δxcomo Δx llega a ser infinitamente pequeño.
EnNotación de Leibniz, tal infinitesimal cambie adentro x se denota cerca dx, y el derivado de y con respecto a x se escribe
sugerir el cociente de dos cantidades infinitesimales. (La expresión antedicha se pronuncia de varias maneras tales como “d y por d x” o “d y d excesiva x”. La forma oral “d y d x” es de uso frecuente conversacional, aunque puede conducir a la confusión.)
El acercamiento máscomún[2] para dar vuelta a esta idea intuitiva en aplicaciones exactas de una definición límites, pero hay otros métodos, por ejemplo análisis no estándar.[3]
Definición vía cocientes de la diferencia
Dejado y=f(x) sea una función de x. En geometría clásica, la línea de la tangente en un número verdadero a estaba la línea única a través del punto (a, f(a)) cuál lo hizo no resuelva el gráfico de ftransversal, significando que la línea no pasó derecho a través del gráfico. El derivado de y con respecto a x en a está, geométrico, la cuesta de la línea de la tangente al gráfico de fen a. La cuesta de la línea de la tangente está muy cerca de la cuesta de la línea a través (a, f(a)) y un punto próximo en el gráfico, por ejemplo (a + h, f(a + h)). Se llaman estas líneas líneas secantes. Un valor...