Aplicaiones de las funciones exponeciales

Aplicación de de las funciones exponenciales y logarítmicas

Función exponencial.
Se llama así a la función y= f(x) = ax, cuando a>0, es decir una potencia donde la variable independiente es el exponente, siendo la base una constante positiva.
Tendremos, por ejemplo, f(3/2)= a3/2. Tomando la raíz aritmética, la función queda unívocamente definida para todo x racional, y su variación eneste campo resulta de lo siguiente:
Las potencias de exponente racional de los números positivos mayores(menores) que uno, son mayores(menores) que uno si el exponente es positivo, y son menores(mayores) que uno si es negativo. En ambos casos crecen(decrecen) al crecer el exponente.
Si a=1, se reduce a la función constante f(x) =1 y no la consideramos como función exponencial.
Con lo establecidoanteriormente, podemos enunciar las siguientes propiedades de la función exponencial:
 Para todo x es ax>0. En particular, la función exponencial no se anula nunca.
 f(0) = a0 =1. [Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1)]
 f(1) = a1 = a.
 Para a>1 (es decir, b>0) es monótona creciente desde 0 hasta ð; para a<1(es decir, b<0) es monótona decreciente desde ð hasta 0,tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð .
lim ax = + ð (a>1) lim ax = 0 (0<a<1)
x →ð ð x →ð ð
 La curva se aproxima asintóticamente al eje x(para b>0 a la izquierda, para b<0 a la derecha), tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð .
lim ax = 0 (a>1) lim ax = +ð (0<a<1)
x →ð ð x →ð ð

Exponenciales expresadas como potencias de e
La ecuación funcional E(a +b)= E(a)E(b) tiene muchas consecuencias interesantes. Por ejemplo podemos utilizarla para demostrar que
(1) E(r) = er
Para todo número racional r.
Tomamos primero b= -a en la ecuación funcional obteniendo
(2) E(a)E(-a)=E(0)=1,
y por lo tanto E(-a)=1/E(a) para todo a real. Tomando b= a, b= 2ª, . . ., b= na en la ecuación funcional obtenemos, sucesivamente, E(2 a)= E(a)2, E(3 a)= E(a)3, y, engeneral,
(3) E(na)= E(a)n
para todo n entero positivo. En particular, cuando a=1, obtenemos
(4) E(n)= en,
mientras que para a= 1/n, se obtiene E(1)= E(1/n)n. Puesto que E(1/n)>0, ello implica
(5) E(1/n)= e1/n.
Por consiguiente, si ponemos a= 1/m en (3) y aplicamos (5), encontramos
 E(n/m)= E(1/m)n= en/m
para m y n enteros positivos cualesquiera. Dicho de otro modo, hemos demostrado (1)para cada número racional positivo. Como E(-r)= 1/E(r)=e-r, también es válida para todo r racional negativo.

Definición de ex para x real cualquiera
En el apartado anterior se ha probado que ex = E(x) cuando x es un racional cualquiera. Ahora se definirá ex para x irracional por
(7) ex = E(x) para cada x real.
La máxima justificación que se puede dar de esta definición es que con ella la leyde los exponentes
 eaeb= ea+b
es válida para todos los números reales a y b. Cuando se toma la definición (7), la demostración de (8) es trivial puesto que (8) no es más que la misma afirmación de la ecuación funcional.
Se ha definido la función exponencial de manera que las dos ecuaciones
y= ex y x= ln y signifiquen exactamente lo mismo.

La gráfica de la función exponencial y= ex laobtenemos de la del logaritmo y=L (x) por una simetría respecto a la recta y= x.
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.
No existe fórmula general alguna que nos muestre cómo resolver todas las ecuaciones exponenciales. Sólo a través de la práctica podremos determinar, en cada caso, qué caminotomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades que ya se han descrito anteriormente.
Ejercicio: resolución de ecuaciones exponenciales

1. Resolver

Resolución:

Expresando 1/8 como potencia de 2:
Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado: 1 - x2 = -3 → x2 = 4 → x = ± 2
2. Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320
Resolución:
En algunas...