Apuntes_Capitulo_3

1.

Transformada de Laplace

Sea f : [0, ∞) → R, decimos que f es continua a trozos (continua por tramos)
en [0, ∞), si en cualquier intervalo [a, b] ⊂ [0, ∞) hay a lo m´as un n´
umero finito de
puntos de discontinuidades t1 , . . . , tl de salto finito, esto significa que f es continua
en cada intervalo (tk , tk+1 ), y f (t), t ∈ (tk , tk+1 ), tiende a un limite finito cuando
t tiende a tk otk+1 , para todo k = 1, .., l − 1.
Definici´
on 1. Decimos que una funci´on f : [0, ∞) → R es de orden exponencial
si existen constantes C, M > 0 y T > 0 tales que:

|f (t)| ≤ M eCt

para todo

t≥T

Ejemplos:

(1) para

f (t) = t,

t ≥ 0,

se tiene |f (t)| = t ≤ et ,

por lo tanto es de orden exponencial con M = 1, C = 1 y T cualquier n´
umero
positivo.
(2) para

f (t) = cos t,

t ≥ 0,

se tiene |f(t)| = | cos t| ≤ et ,

por lo tanto es de orden exponencial con M = 1, C = 1 y T cualquier n´
umero
positivo.
(3) para

f (t) = tn sin t,

se tiene |f (t)| ≤ tn ≤ (et )n = ent ,

t ≥ 0,

por lo tanto es de orden exponencial con M = 1, C = n y T cualquier n´
umero
positivo.
Comencemos a continuaci´on con la definici´on de la Transformada de Laplace.
Sea f : [0, ∞) → R y consideremos la expresi´on,τ

e−st f (t)dt

0

donde s ∈ R y τ > 0. Supongamos que
1

2
τ

l´ım

τ →∞

∞

e−st f (t)dt =

0

e−st f (t)dt

0

existe, entonces
∞

F (s) :=

e−st f (t)dt

0

la llamaremos la transformada de Laplace de f . Es costumbre tambi´en denotar la
transformada de Laplace por L(f (t)). As´ı,
∞

L(f (t)) = F (s) =

e−st f (t)dt

0

Notamos que el dominio de definici´on de esta transformada depende de lafunci´on f . En este respecto se tiene
Teorema 1. Sea f : [0, ∞) → R continua por trozos y de orden exponencial, i.e.
existen constantes M > 0, C y T > 0 tales que
|f (t)| ≤ M eCt para todo
entonces F (s) existe para todo s > C.

t ≥ T,

Demostraci´
on 1. Se tiene
τ

F (s) =

l´ım

τ →∞
T

=

e−st f (t)dt

0
τ

e−st f (t)dt + l´ım

τ →∞

0

e−st f (t)dt

T

Ahora, de los cursos de c´alculo se sabeque
τ

l´ım

τ →∞

e−st f (t)dt

T

existe, si
τ

e

l´ım

τ →∞

−st

T

∞

|f (t)|dt =
T

e−st |f (t)|dt < ∞,

(1.1)

3

as´ı que estudiaremos este ultimo limite. Se tiene
τ

τ

e−st |f (t)|dt ≤ M

T

T

=

τ

e−st eCt dt = M

e−(s−C)t dt

T

M
[e−(s−C)T − e−(s−C)τ ]
s−C

por lo tanto,
τ

l´ım

τ →∞

e−st |f (t)|dt ≤

T

M −(s−C)T
e
,
s−C

para todo

s > C.

Luego,
∞

e−st |f (t)|dt < ∞,

paratodo s > C.

T

lo que implica que
∞

F (s) =

e−st f (t)dt

0

existe para todo s > C, que es lo que se quer´ıa demostrar
El siguiente teorema nos dice que la transformada es continua.
Teorema 2. Supongamos que la funci´on f satisface las condiciones del teorema
anterior, entonces la transformada de Laplace, F (s), es continua en el intervalo
(C, ∞).
Demostraci´
on 2. Sean s1 , s2 ∈ (C, ∞).Queremos demostrar que si s1 → s2 ,
entonces F (s1 ) → F (s2 ). Se tiene
∞

F (s1 ) =
0

F (s2 ) =
0

entonces,

∞

e−s1 t f (t)dt
e−s2 t f (t)dt

4
∞

|F (s1 ) − F (s2 )| ≤

|e−s1 t − e−s2 t ||f (t)|dt.

0

Suponiendo, sin perder generalidad que s1 < s2 , lo cual implica que e−s1 t >
e
, se tiene
−s2 t

∞

|F (s1 ) − F (s2 )| ≤

(e−s1 t − e−s2 t )|f (t)|dt

0
T

=

∞

(e−s1 t − e−s2 t )|f (t)|dt +0
T

≤ c1

(e−s1 t − e−s2 t )dt + M

0

T
∞

(e−s1 t − e−s2 t )|f (t)|dt

(e−s1 t − e−s2 t )eCt dt,

T

donde c1 = supt∈[0,T ] |f (t)|. Notando que
T

T

e−s1 t dt →

e−s2 t dt cuando s1 → s2

0

0

y que
∞

−s1 t

(e

−e

−s2 t

∞

Ct

)e dt =

T

(e−(s1 −C)t − e−(s2 −C)t )dt

T

1
1
e−(s1 −C)T −
e−(s2 −C)T → 0,
s1 − C
s2 − C
se obtiene que
=

|F (s1 ) − F (s2 )| → 0,

cuando s1 → s2 ,

cuando s1→ s2 .

Esto implica que F (s) es una funci´on continua en (C, ∞).
En el siguiente teorema evaluamos la transformada de Laplace de algunas funciones elementales.
Teorema 3. Se tiene lo siguiente

(a)

1
L(1) = ,
s

s>0

5

n!

(b)

L(tn ) =

(c)

L(eat ) =

(d)

L(sin kt) =

(e)

L(cos kt) =

(f)

L(sinh kt) =

(g)

L(cosh kt) =

sn+1

,

s > 0,

1
,
s−a

n≥1

s>a

k
s2 + k 2
s2

s
+ k2

s2...