Apuntes sobre fisica

Páginas: 8 (1841 palabras) Publicado: 27 de junio de 2013
Cap´
ıtulo 3

Distribuciones de probabilidad
multivariadas
Sobre un dado espacio muestral podemos definir diferentes variables aleatorias. Por ejemplo,
en un experimento binomial, X1 podr´ ser la variable binomial (n´mero de total de ´xitos) y X2
ıa
u
e
el n´mero de ´xitos en las k primeras pruebas. Si las variables aleatorias X1 , X2 , . . . , Xn est´n
u
e
a
definidas sobre el mismoespacio muestral S se dice que est´n conjuntamente distribuidas.
a

3.1.

Distribuci´n de probabilidad conjunta
o

La funci´n de distribuci´n conjunta para las variables aleatorias X1 , X2 , . . . , Xn se define como
o
o
FX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) ≡ Prob {X1 < x1 , . . . , Xn < xn }

(3.1)

donde {X1 < x1 , . . . , Xn < xn } = {X1 < x1 } ∩ {X1 < x2 } ∩ . . . ∩ {Xn < xn }. Enotras palabras,
FX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) es la probabilidad de que las variables aleatorias Xi tomen simultaneamente
valores en los intervalos {−∞ < Xi < xi } con i = 1, . . . , n. La densidad de probabilidad conjunta fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) se define entonces como
fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) =

∂ n FX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn )
∂x1 . . . ∂xn

(3.2)

de tal manera que
FX1,...,Xn (x1 , . . . , xn ) =

x1
−∞

xn

···

−∞

dx1 . . . dxn fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn )

(3.3)

Consideremos por simplicidad de aqui en mas solo dos variables aleatorias X e Y , con funciones
de distribuci´n y densidad FX,Y (x, y) y fX,Y (x, y) respectivamente. La funci´n de distribuci´n
o
o
o
satisface FX,Y (−∞, y) = FX,Y (x, −∞) = FX,Y (−∞, −∞) = 0 y FX,Y (∞, ∞) = 1.Ademas:
FX,Y (x2 , y) − FX,Y (x1 , y) = Prob {x1 < X1 < x2 ; Y < y}
La densidad de probabilidad fX,Y (x, y) satisface las condiciones fX,Y (x, y) ≥ 0 y

−∞

dx


−∞

dy fX,Y (x, y) = 1

(3.4)

Dadas dos variables X e Y distribuidas conjuntamente, la funci´n de distribuci´n reducida o
o
o
marginal FX (x) para la variable X viene dada por
FX (x) = FX,Y (x, ∞) =

x
−∞

29

dx∞
−∞

dy fX,Y (x , y)

(3.5)

30
Y de la misma manera, la densidad de probabilidad marginal fX (x) para la variable X se define
como


fX (x) =

−∞

dy fX,Y (x, y)

(3.6)

Las funciones de distribuci´n y marginal para la variable Y se obtienen de manera semejante.
o
El momento n-´simo de la variable X se define como
e
xn =


−∞

dx


−∞

dy xn fX,Y (x, y) =∞
−∞

xn fX (x) dx

Los momentos conjuntos para las variables X e Y se definen como
xn y m =


−∞

dx



dy xn y m fX,Y (x, y)

−∞

(3.7)

El momento conjunto mas comunmente utilizado en f´
ısica es la covariancia
Cov(X, Y ) = (x − x )(y − y ) = xy − x y

(3.8)

que nos da una medida de la correlaci´n entre fluctuaciones de ambas variables. Altermativamente,
o
sueleusarse la funci´n de correlaci´n (tambi´n llamada coeficiente de Pearson):
o
o
e
Cor(X, Y ) =

Cov(X, Y )
σX σY

(3.9)

la cual es adimensional. La funci´n de correlaci´n satisface las siguientes propiedades (facilmente
o
o
demostrables):
Cor(X, Y ) = Cor(Y, X)
−1 ≤ Cor(X, Y ) ≤ 1
Cor(X, X) = 1, Cor(X, −X) = −1
Cor(aX + b, cY + d) = Cor(X, Y ) si a, c = 0
Dos variablesaleatorias X e Y son independientes si
fX,Y (x, y) = fX (x) fY (y) ∀x, y
Si X e Y son independientes se satisfacen las siguientes propiedades
xm y n = xm y n
Cor(X, Y ) = 0
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Esta ultima propiedad se generaliza directamente al caso de n variables X1 , . . . , Xn todas indepen´
dientes entre s´
ı:
n

V

n

Xi
i=1

=

V (Xi )

(3.10)

i=1

Al tratar conmuchas variables aleatorias, a menudo necesitamos encontrar la densidad de
probabilidad de una nueva variable que es funci´n de las anteriores. Por ejemplo, supongamos que
o
conocemos la densidad conjunta fX,Y (x, y) y queremos obtener la densidad de probabilidad de la

31
variable Z = G(X, Y ), donde G es una funci´n conocida de dos variables. En una generalizaci´n
o
o
de la Ec.(2.20),...
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