Areas todo
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Publicado: 14 de junio de 2010
AREAS.
Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, no como los antiguos griegos- pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primeradefinición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:
AREAS BAJO CURVA
Definición: Sí f es continua cerrado
[a ,b] ,
x
y no negativa en un intervalo por la gráfica de
el área de la región limitada y las rectas verticales x = a y
f, el eje por:
x = b viene dada
Area =
∫
a
b
f ( x ) dx
Observemosla siguiente fig 1: FIG 1.
En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las
x = b . Podemos hallar el área de la rectas verticales x = a y región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.
Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.EJEMPLO 1:
Hallar el área de la región acotada por la curva
f ( x ) = 4 y las rectas x = −3 y x = 2 .
SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida. FIG 2.
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:
A
= −3∫
2
4dx
3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.
A = −3
∫
2
4 dx
4x 2 −3 =
= 4( 2 ) − 4( −3 ) = 20 Luego el área de la región es 20 u2. Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede
encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente: A = bh =
( 2 − ( −3 ))( 4 )
==
( 5 )( 4 )
20. hayan obtenido resultados
No es sorprendente equivalentes.
que
se
EJEMPLO 2:
Hallemos
el área de la región acotada por la
3 curva f ( x ) = x + x acotada por
[− 5,5] .
SOLUCION:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto. FIG 3.
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si seobserva la fig 3, las rectas x = −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así: [− 5,0] y [0,5] . Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por: A = A1 + A2
[− 5,5]
A =
−5
∫
0
( x 3 − x ) dx +
∫
0
5
( x 3 − x ) dx
3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos aevaluar la integral de la siguiente forma:
A=
−5
∫
0
( x 3 − x ) dx +
∫
0
5
⎛ x4 x2 ⎞ 0 ⎛ x4 x2 ⎞ 5 ⎟ ⎟ + +⎜ + ( x 3 − x ) dx = ⎜ ⎜ 4 2 ⎟ −5 ⎜ 4 2 ⎟0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( −5 ) 4 ( −5 ) 2 5 4 5 2 − + + 4 2 4 2
=− 675 675 + 4 4
675 2
675 2 u. 2
=−
=
Luego el área de la región sombreada es de
AREAS ENTRE DOS CURVAS QUE NO SE CORTAN.
Para plantear la siguientedefinición, debemos de tener en cuenta las mismas condiciones de la definición planteada en el numeral 1, es decir: Definición: Consideremos 2 funciones, el intervalo [a , b] , siguiente figura: de forma que
f ( x ) y g ( x ) continuas en f ( x ) > g( x ) . Observen la
El área de la región R viene dada por:
A=
∫
a
b
( f ( x ) − g( x )) dx
.
Es razonable la definición anterior. Enefecto, f ( x ) ≥ g ( x ) , luego
f ( x ) − g( x ) ≥ 0 , y
el
área
de
la
región
determinada
por
la
anterior diferencia es mayor que cero, es decir: A ≥ 0 . Ahora consideremos la siguiente gráfica:
Ahora
f ( y ) y g ( y ) son continuas en el intervalo [c , d ] , con f ( y ) > g ( y ) . Luego para este caso área de R viene dada por d
A=
∫
c
( f ( y ) −...
Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo (imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, no como los antiguos griegos- pero de la forma mas moderna, el como podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primeradefinición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:
AREAS BAJO CURVA
Definición: Sí f es continua cerrado
[a ,b] ,
x
y no negativa en un intervalo por la gráfica de
el área de la región limitada y las rectas verticales x = a y
f, el eje por:
x = b viene dada
Area =
∫
a
b
f ( x ) dx
Observemosla siguiente fig 1: FIG 1.
En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las
x = b . Podemos hallar el área de la rectas verticales x = a y región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.
Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.EJEMPLO 1:
Hallar el área de la región acotada por la curva
f ( x ) = 4 y las rectas x = −3 y x = 2 .
SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida. FIG 2.
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:
A
= −3∫
2
4dx
3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.
A = −3
∫
2
4 dx
4x 2 −3 =
= 4( 2 ) − 4( −3 ) = 20 Luego el área de la región es 20 u2. Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede
encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente: A = bh =
( 2 − ( −3 ))( 4 )
==
( 5 )( 4 )
20. hayan obtenido resultados
No es sorprendente equivalentes.
que
se
EJEMPLO 2:
Hallemos
el área de la región acotada por la
3 curva f ( x ) = x + x acotada por
[− 5,5] .
SOLUCION:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto. FIG 3.
2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si seobserva la fig 3, las rectas x = −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1 y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así: [− 5,0] y [0,5] . Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por: A = A1 + A2
[− 5,5]
A =
−5
∫
0
( x 3 − x ) dx +
∫
0
5
( x 3 − x ) dx
3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos aevaluar la integral de la siguiente forma:
A=
−5
∫
0
( x 3 − x ) dx +
∫
0
5
⎛ x4 x2 ⎞ 0 ⎛ x4 x2 ⎞ 5 ⎟ ⎟ + +⎜ + ( x 3 − x ) dx = ⎜ ⎜ 4 2 ⎟ −5 ⎜ 4 2 ⎟0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( −5 ) 4 ( −5 ) 2 5 4 5 2 − + + 4 2 4 2
=− 675 675 + 4 4
675 2
675 2 u. 2
=−
=
Luego el área de la región sombreada es de
AREAS ENTRE DOS CURVAS QUE NO SE CORTAN.
Para plantear la siguientedefinición, debemos de tener en cuenta las mismas condiciones de la definición planteada en el numeral 1, es decir: Definición: Consideremos 2 funciones, el intervalo [a , b] , siguiente figura: de forma que
f ( x ) y g ( x ) continuas en f ( x ) > g( x ) . Observen la
El área de la región R viene dada por:
A=
∫
a
b
( f ( x ) − g( x )) dx
.
Es razonable la definición anterior. Enefecto, f ( x ) ≥ g ( x ) , luego
f ( x ) − g( x ) ≥ 0 , y
el
área
de
la
región
determinada
por
la
anterior diferencia es mayor que cero, es decir: A ≥ 0 . Ahora consideremos la siguiente gráfica:
Ahora
f ( y ) y g ( y ) son continuas en el intervalo [c , d ] , con f ( y ) > g ( y ) . Luego para este caso área de R viene dada por d
A=
∫
c
( f ( y ) −...
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