Arenas

Cap´ ıtulo 1: Aplicaciones de la integral

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Cap´ ıtulo 1

Aplicaciones de la integral 1.1. C´lculo de ´reas a a
Y P1

Problema 1.1.1 Calcular el ´rea plana σ a encerrada por las curvas de ecuaciones: y2 = x − 1 e y = x − 3 . (Porci´n de plano que se muestra en la o figura 1.1.)
5 Po X

2

2 O –1 1

Fig. 1.1

Soluci´n: o Las curvas dadas se intersecan en los puntos P0 (2, −1) yP1 (5, 2).

Esto se debe a que: y 2 = x − 1 ⇒ x = y 2 + 1 , y = x − 3 ⇒ x = y + 3, de donde se obtiene y 2 − y − 2 = 0 = (y + 1)(y − 2), con esto y = −1 → x = 2 , y = 2 → x = 5. Primer m´todo: e Se tiene:
2

σ=
1

√

x−1− −

√

5

x − 1 dx +
2

√

x − 1 − (x − 3) dx =

1

=2
0

√

4

xdx +
1

√

2

xdx −
−1

xdx = · · · =

9 . 2

Segundo m´todo: e Porotro lado, tenemos:
2

σ=
−1

y + 3 − y 2 + 1 dy =

2 −1

(−y 2 + y + 1)dy =

= ··· = ¡Vemos que este m´todo es m´s f´cil! e a a

9 . 2

2

´ CALCULO INTEGRAL

Fernando Arenas Daza

Problema 1.1.2 Calcular el ´rea plana σ a encerrada por las curvas de ecuaciones: y2 = 8 − x e y = x . 2
–8 Y 2 O P1 4 8 X

(Porci´n de plano que se muestra en la o figura 1.2.)
Po

–4Soluci´n: o Las curvas dadas se intersecan en los puntos P0 (−8, −4) y P1 (4, 2).

Fig. 1.2

Esto se debe a que: y 2 = 8 − x ⇒ x = 8 − y 2 , y = x ⇒ x = 2y, de donde se obtiene y 2 + 2y − 8 = 0 = 2 (y + 4)(y − 2), con esto y = −4 → x = −8 , y = 2 → x = 4. Por otro lado, tenemos:
2

σ=
−4

(8 − y 2 ) − 2y dy =

8y −

y3 − y2 3

2 −4

=

= · · · = 36 . Problema 1.1.3 Calcular el´rea plana σ encerrada por la elipse de ecuaci´n: a o y2 x2 + 2 =1. 2 a b Soluci´n: o Tomando en cuenta la figura 1.3 se tiene:
Y

σ =4·
X

b a

a

a2 − x2 dx ,
0

O

en la integral hagamos: x = a sen θ ,
2 con ello resulta x 0 ⇒ θ 0 y, adem´s, dx = a a cos θdθ, con ello se obtiene:

a

π

Fig. 1.3

b σ = 4 · · a2 a por lo tanto, conseguimos: σ = 2ab
0
π 2

π 2

cos2 θdθ,

0

(1 + cos 2θ)dθ = 2ab
0

π 2

dθ +

1 2

π 2

cos 2θd(2θ) = πab .

0

Cap´ ıtulo 1: Aplicaciones de la integral

3

Problema 1.1.4 Calcular el ´rea plana σ encerrada por la astroide de ecuaci´n: a o x3 + y 3 = a3 .
2 2 2

Soluci´n: o Tomando en cuenta la figura 1.4, tenemos:
Y

a

σ=4
0

(a 3 − x 3 ) 2 dx ,
O X

2

2

3

en la integral hagamos x = asen3 θ, con ello resulta: x
a 0

⇒θ

π 2

0

, Fig. 1.4

y, adem´s, se tiene: a dx = 3a sen θ cos θdθ , de ello: σ = 12a2
0
π 2

2

(sen θ cos θ)2 cos2 θdθ ,

o sea: σ= es decir: 3a2 1 σ= 2 2 = 3a2 1 2 2
π 2

3a2 2
π 2

π 2

sen2 2θ(1 + cos 2θ)dθ ,
π 2

0

(1 − cos 4θ)dθ +
0
π 2

sen2 2θ cos 2θdθ = sen2 2θd(sen 2θ) = 3πa2 . 8

0

dθ −

0

1 8

cos4θd(4θ) +

0

1 2

π 2

0

Problema 1.1.5 Determinar el ´rea de la regi´n limitada por arriba por el gr´fico de la a o a funci´n y = Arctg x, por abajo por el eje de abscisas, por la izquierda por la recta de ecuaci´n o o √ 1 x = √ y por la derecha mediante la recta de ecuaci´n x = 3. o 3

Soluci´n: o Se tiene que el ´rea pedida es: a
Y

Pi/3 Pi/6 O 3^(–1/2) 3^(1/2) X

π √ π 1 σ = · 3−· √ − 3 6 3 =

π 3 π 6

tg ydy =

Fig. 1.5

π √ π 1 π π · 3− · √ − ln(cos − ln(cos 3 6 3 6 3 √ 5π = √ − ln 3. 6 3

=

4

´ CALCULO INTEGRAL

Fernando Arenas Daza

1.1.1.

´ Area en coordenadas polares

Problema 1.1.6 Obtener el ´rea encerrada por la porci´n de curva que en coordenadas a o polares es: C : ρ = ρ(θ) , θ 1 ≤ θ ≤ θ2 .

Soluci´n: o Considerando la figura 1.6resulta: σk = 1 2 ρ ∆θk , 2 k
θk ρ k P k

y, por lo tanto se consigue:
n

σ = l´ ım

n→∞

k=1

1 2 1 ρ ∆θk = 2 k 2

θ2 θ1

O

X

ρ2 dθ . Fig. 1.6

Problema 1.1.7 Calcular el ´rea interior a la lima¸´n con ecuaci´n polar ρ = 2 + cos θ y a co o por encima de la recta de ecuaci´n y = x. o

Soluci´n: o Considerando la figura 1.7 se tiene que el a ´rea pedida es: σ=
O X

1 2...