Arma

Modelos ARMA

Proceso Ruido Blanco
Una secuencia de variables aleatorias {at } tal que

 at  :

E ( at )   a

(normalmente a 0)

Var ( at )  a2
Cov ( at , at k ) 0 for k 0
Autocovarianza y autocorrelacion
  a2
k 
0
1
 k 
0
1
kk 
0

k 0
k 0
k 0
k 0
k 0
k 0

k

....
1

2

3

4

k

La Descomposicion de Wold
Sea {Zt} una serie temporal estacionaria y nodeterministica.
Entonces


Z t  j at  j  Vt  ( L)at  Vt ,
j 0

donde


1. 0 1 y  j2  ,
j0

2. {at } es WN (0,  2 ), con  2  0,
3. Cov ( as , Vt ) 0 para todo s y t ,
4. at es el limite de combinaciones lineales de Z s , s t , y
5. {Vt } es un componente deterministico.

Algunos Notas sobre la Descomposicion de Wold

( ) a t  Z t  P[ Z t | Z t  1 , Z t  2 ,...]

( ) Como secalculan los coeficientes  j ???


(   ) Que significa



???

j0

n

E[ Z t 


j 0

2

j

a t  j ]  0 cuando n  

Que no dice la descomposición de Wold?
• at no tiene por que seguir una distribucion normal y por tanto no
tiene por que ser iid
• Aunque P[at|Zt-j]=0, esto no implica que E[at|Zt-j]=0 (piensa en las
posibles consecuencias!!!!)
• Los shocks a no necesitan ser los“verdaderos” del sistema. Cuando
lo serán????
• La unicidad del resultado solo dice que la representacion de Wold
es la unica representacion lineal donde los shocks son errores de
prediciones. Representaciones no-lineales o representaciones en
terminos de errores que no sean de prediccion son perfectamente
posibles.

Ejemplo de lineal versus no-lineal
Suponga que Yt=Xt2 + Zt con Xt y Zt N(0, 1) eindependientes entre
ellas.
La mejor prediccion dado Xt es E[Yt|Xt]=Xt2.
La mejor prediccion lineal o projeccion lineal dado Xt es
a + b Xt donde se puede comprobar que a=1 y b=0.
Si calculamos el error cuadratico medio de las dos predicciones:
E[Yt-Xt2]2=E[Zt]2 =1
E[Yt-1]2=E[Xt4]+E[Zt]2-1=3
Que prediccion es mejor?
.

Nacimiento de los modelos ARMA
Bajo condiciones generales, el polinomio de retardosinfinito de
la descomposicion de Wold puede ser aproximado por el cociente
de dos polinomios de retardos finitos:
 ( L) 

Entonces
Z t   ( L )a t 

 q ( L)
 p ( L)

 q ( L)
 p ( L)

at ,

 p ( L ) Z t  q ( L ) a t
(1  1L  ...  p Lp ) Z t (1  1L  ...   q Lq )a t
Z t  1Z t  1  ...  p Z t  p a t  1a t  1  ...   q a t  q

AR(p)

MA(q)

Procesos MA(1)
Sea

 at 

unruido blanco de media cero

a t  (0,  a2 )

Z t   a t  a t  1  MA (1)
Esperanza
Varianza

E ( Z t )    E ( at )   E ( at  1 )  
Var ( Z t )  E ( Z t   ) 2  E ( at  at  1 ) 2 
 E ( at2   2 at2 1  2at at  1 )  a2 (1   2 )

Autocovarianza

1º orden
E(Z t   )( Z t  1   )  E ( at  at  1 )( at  1  at  2 ) 
 E ( at at  1  at2 1  at at  2   2 at 1at  2 )  a2

Autocovarianzas de ordenes mayores

Proceso MA(1) (cont)

E ( Z t   )( Z t  j   )  E ( at  at  1 )( at  j  at  j  1 ) 
E ( at at  j  at  1at  j  at at  j  1   2at  1at  j  1 ) 0

Autocorrelacion

1
 2

1  

2
2
0 (1   )
1 2
 j 0 j  1

j 1

Proceso MA(1) (cont)

MA(1) es un proceso estacionario en covarianzas porque

E ( Z t ) Var ( Z t ) (1   2 ) 2
MA(1) es ergodico porque


2
2
2



(
1


)



 j
j 0

Si at fuera Gaussiano, entonces

Zt

seria ergodico para todos los momentos

Grafico de la funcion

1


1 
1  2

max( 1 ) 0.5 para  1

0.5

-1

1 0.4 para  0.5
1 0.4 para  2
1



-0.5


1
1/

Si en 1 
substituim
os
,



1
1 2

1  (1 /  ) 2 1   2

Z t at  at  1


1

Z t at  ( )at  1 



 Ambos procesos comparten
la misma funcion de autocorrelacion

MA(1) no es identificable, excepto para

 1

Invertibilidad
Definición: Un proceso MA(q) definido por la ecuación

Z t  q ( L ) a t

se dice que es invertible si existe una secuencia de constantes




{ j } tales que  j0 |  j | 

y



at 

 j Z t  j,

t 0,1,...

j0

Teorema: Sea...