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ÁLGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser facilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar másfacilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman unatransformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar kperteneciente a K, se satisface que:
1. [pic]
2. [pic]donde k es un escalar.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Para detalles específicos sobre estos, ver el artículo Operador (mecánica cuántica).

Propiedades de las transformaciones lineales

1. [pic]

Transformación Lineal Singular y No Singular

Sean [pic]y[pic]espacios vectoriales sobre el mismo campo [pic]y [pic]una transformación lineal de [pic]en [pic]. Entonces, [pic]es no singular si:
[pic]X [pic]
En caso contrario [pic]es singular.

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

• Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una únicatransformación lineal [pic]Para todo [pic]




Clasificación de las transformaciones lineales

1. Monomorfismo: Si [pic]es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. [pic]
2. Epimorfismo: Si [pic]es sobreyectiva (exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si [pic]es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
4. Endomorfismo: Si [pic]o sea si el dominio es igual al codominio (elespacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
5. Automorfismo: Si [pic]es endomorfismo e isomorfismo a la vez.


Definición 1   Sean [pic]espacios vectoriales, y sea [pic]. Diremos que [pic]es:
1. Una transformación lineal (o morfismo ) si dados [pic], [pic], [pic]
2. Un Monomorfismo si [pic]es un morfismo inyectivo.
3. Un epimorfismo si [pic]es un morfismo sobreyectivo.4. Un isomorfismo si [pic]es un morfismo biyectivo.
Además llamaremos [pic]([pic] para abreviar) al espacio de morfismos de [pic], donde [pic]es la función constante cero, esto es:
[pic]
Y la suma y producto escalar en [pic]se definen así:
1. Si [pic], entonces [pic]es la transformación dada por [pic].
2. Si [pic], [pic], entonces [pic]es la transformación dada por. [pic]TEOREMAS
TEOREMA 2.1 Si T : V W es una transformación lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,
dim(V) = nulidad(T) + rango(T).
Demostración
Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos
L(V, W) = {T : V W | T es una transformación lineal}.
Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U :V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.
Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V W, las siguientes...