Asfghjkl

UNITAT 1 Nombres reals
3. Curiositats sobre alguns nombres irracionals
Pàg. 1 de 4

Hi ha tres nombres de gran importància en matemàtiques i que, paradoxalment, anomenem amb una lletra: • El nombre designat amb la lletra grega π = 3,14159… (pi) relaciona la longitud de la circumferència amb el seu radi (longitud = 2 · π · r ). • El nombre e = 2,71828…, inicial del cognom del seu descobridorLeonhard Euler (matemàtic suís del segle XVIII). • El número designat amb la lletra grega F = 1,61803… (fi), anomenat número d’or, és la inicial del nom de l’escultor grec Fídies, que el va utilitzar en les seues obres. Els tres números tenen infinites xifres decimals i no són periòdics (les seues xifres decimals no es repetixen periòdicament). Són, per tant, nombres irracionals. Des del punt devista matemàtic, hi ha una diferència important entre els dos primers i el tercer: mentre que π i e no són solució de cap equació polinòmica, el número d’or, F = de l’equació de segon grau x 2 – x – 1 = 0. Comprova-ho. 1 + √5 , és una de les solucions 2

EL NÚMERO

π

Ja en l’antiguitat, els calculistes van notar que tots els cercles conservaven una estreta relació entre el seu perímetre i elseu radi. En el segle XVII la relació es va convertir en un número, i va ser identificat amb el nom de “pi”, de periphereia, nom que els grecs donaven al perímetre d’un cercle. Al llarg de la història, el valor del número π ha tingut moltes variacions: • En l’antic Egipte, es prenia π = 3,1605 i en l’antiga Babilònia, era π = 3. • A la Xina, les aproximacions per a π van ser diverses: 3,1447;3,10; 3,14. En el segle V dC., un astrònom xinés anomenat Tsu Chung va calcular que π s’acostava a 355 . 113 • A Europa, Arquimedes sabia que π complia la relació següent: 3 + 10 < π < 3 + 1 71 7 • En la Bíblia, π és 3. • Els àrabs, treballant amb polígons inscrits en una circumferència, van obtindre fins a 17 decimals exactes de π. Així, el nombre de decimals trobats per a π va anar augmentant fins aarribar al segle XX. L’aparició dels ordinadors va permetre treballar amb més rapidesa i, en el moment actual, el rècord de xifres decimals trobades per a aquest nombre sobrepassa els mil milions.

UNITAT 1 Nombres reals
3. Curiositats sobre alguns nombres irracionals
Pàg. 2 de 4

EL NÚMERO

e

El número e és un nombre real el valor del qual és 2,718281828459… Leonhard Euler, matemàticdel segle XVIII, va ser el primer a estudiar aquest nombre (va calcular fins a 23 de les seues xifres decimals) i a utilitzar la lletra e per a anomenar-lo. Amb l’arribada dels ordinadors, el càlcul es va simplificar i ràpidament els progressos van ser enormes. Així, per exemple, l’any 2000, utilitzant un programa de càlcul en un ordinador Pentium III 800, es van obtindre 12 884 901 000 xifresdecimals d’aquest número, per la qual cosa es van necessitar 167 hores. Són moltes les aplicacions que té aquest número: • Una cadena o un cable que pengen pels seus extrems, tendixen a adoptar la forma d’una corba molt coneguda l’expressió analítica de la qual és:
x –x f (x) = e + e 2

• Per a determinar d’una manera aproximada l’antiguitat d’un objecte que està format per matèria orgànica, esmesura la quantitat de carboni 14 que conté. Els éssers vius tenen una quantitat de carboni 14 constant. Quan un ésser viu mor, aquesta quantitat es va desintegrant. La funció que regula la desintegració es determina amb la fórmula següent: Q = Q0 · e –0,000124 · t on Q és la quantitat final de carboni 14, Q0 és la quantitat inicial i t és el temps transcorregut. • Una de les nombroses aplicacionsdel número e en biologia és el creixement exponencial de poblacions. Aquest tipus de creixement sorgix quan no hi ha factors que limiten el creixement. En aquests casos s’aplica la fórmula: P = P0 · e t que permet esbrinar quina serà la població P en un temps t a partir de la població inicial P0. F

EL NÚMERO D’OR,

Encara que no va ser fins al segle XX quan el matemàtic Mark Borr va...