asignacion

Tarea 2: Asignaci´n de Polos
o
Mauricio Alexis Guerrero Doria
Dise˜o de Esquemas de Control Para Sistemas Lineales
n
UNAM

26 de marzo de 2014

1.
˙
Suposici´n 1 : En el sistema X = AX + Bu, Y = CX, la pareja (A,B) debe ser completamente controlable.
o
Suposici´n 2 : Todos los estados X = [x1 , x2 , ..., xn ] del sistema, deben estar disponibles para su medici´n.
o
o
Suposici´n 3: El efecto de los polos no dominantes, en lazo cerrado, debe ser despreciable.
o

2.
Considere el sistema
˙
X = AX + Bu
Y = CX
no es completamente controlable. Entonces el rango de la matriz de controlabilidad es menor que n, esto es
Rnak(C) = Rnak([B AB ... An−1 B]) < n
Esto significa que hay q vectores (f1 , f2 , ..., fq ) columna linealmente independientes entre ellos en la matriz
decontrolabilidad. Adem´s, elegimos otros n − q n-vectores vq+1 , vq+2 , ..., vn tal que
a
P = [f1 |f2 |...|fq |vq+1 |vq+2 |...|vn ]
es de rango n. Por lo tanto, el sistema se puede representar ´de la siguiente forma
ˆ
A = P −1 AP =
ˆ
B = P −1 B =

A11
0

A12
A22

B11
0

ˆ
Ahora, se define K = KP = [k1 |k2 ]. por lo tanto se tiene que
|sI − A + BK| = |P −1 (sI − A + BK)P | =
|sI− P −1 AP + P −1 BKP | =
|sIq − A11 + B11 K1 | · |sIn−q − A22 | = 0
donde Iq e In−q son matrices identidad de orden n y n − q respectivamente.
Se puede observar que los valores propios de la matriz A22 no dependen de K. Por lo tanto, si el sistema
no es completamente controlable entonces hay valores propios de la matriz A que no pueden ser ubicados arbitrariamente. As´ mismo, para ubicar losvalores propios de A, es necesario que el sistema sea completamente
ı
controlable (condici´n de necesidad).
o

1

Ahora, para probar la condici´n de suficiencia, la cual dice que si el sistema es completamente controlable,
o
entonces los valores propios de la matriz A pueden ser ubicados arbitrariamente. Para esto, se transofma el
sistema a su forma can´nica controlable.
o
Sea T unamatriz de transformaci´n dada por
o
T = CW , donde C es

an−1 an−2
 an−2 an−3

 ·
·

·
W = ·

 ·
·

 a1
1
1
0

la matriz de controlabilidad y

... a1 1
... 1 0 

... · · 

... · · 

... · · 

... 0 0 
... 0 0

Donde los ai ’s son los coeficientes del polinomio caracter´
ıstico de la matriz A. As´ mismo, se define el nuevo
ı
vector de estado xpor x = T x.
ˆ
ˆ
Si el rango de la matriz C es n, entonces la inversa de la matriz T existe y la ecuaci´n de estado puede ser
o
escrita as´
ı
˙
x = T −1 AT x + T −1 Bu
ˆ
ˆ

0
1
 0
0

 ·
·

·
T −1 AT =  ·

 ·
·

 0
0
−a
−an−1
 n
0
 0 
 
 · 
 
T −1 B =  · 
 
 · 
 
 0 
1

0
1
·
·
·
0
−an−2

...
0
...
0
...
·
...
·...
·
...
1
... −a1












Entonces, un sistema en espacio de estados puede ser transformado a su forma can´nica de controlador si el
o
sistema es completamente controlable y si transformamos el vector de estados x en un nuevo vector de estados
x a partir de una matriz de transformaci´ T dada.
ˆ
ın
A continuaci´n, elegimos el conjunto de valores propiosdeseados como µ1 , µ2 , ..., µn . Entonces, el polinomio
o
caracter´
ıstico est´ dado por sn + α1 sn−1 + ... + αn−1 s + αn = 0.
a
Adem´s, escribimos KT = [δn δn−1 ... δ1 ]
a
Cuando u = −KT x como se˜al de control del sistema transformado, el sistema se convierte en
ˆ
n
˙
x = T −1 AT x − T −1 BKT x
ˆ
ˆ
ˆ
La ecuaci´n caracter´
o
ıstica es
|sIt−1 AT − T −1 BKT | = 0
Esta escuaci´ncaracter´
o
ıstica es igual a la del sistema original, cuando u = −Kx es usada como se˜al de
n
control, por lo tanto, el sistema original quedar´
ıa
x = Ax + Bu = (A − BK)x, cuya ecuaci´n caracter´
˙
o
ıstica es

2

|sI − T −1 AT + T −1 BKT | = sn + (a1 + δ1 )sn−1 + ... + (an−1 + δn−1 )s + (an + δn ) = 0
Esta es ecuaci´n caracter´
o
ıstica para el sistema con retroalimentaci´n de los...