Asimtotas



ASÍNTOTA VERTICAL


Hay funciones que tienen un comportamiento fuera de lo común cuando la variable x tiende a confundirse con un cierto valor. Puede hacerlo por los mayores o por los menores que él. Es decir para aproximarnos al 2 podemos hacerlo de dos formas:
Por la izquierda   1,9 ;  1,99 ; 1,999 ... Se escribe x → 2- . ►   x → 2  con x ≤ 2
Por la derecha     2,1 ; 2,01 ;  2,001 ... Seescribe x → 2+.►   x → 2  con x ≥ 2.
Si
 Lim F(x) = ± ∞
  x → xo±
se dice, entonces que hay una asintota vertical en x = xo. En la figura se ven dos asintotas verticales: una en x = 1 y otra en x = -1.
 En x = 1      x →1+  ►  F(x) → + ∞      y para     x →1-  ►  F(x) → - ∞
 En x = -1    x → -1+  ►  F(x) → - ∞      y para     x → -1-  ►  F(x) → + ∞
 La tangente tiene infinitas asítotas verticales,una por cada valor que anula al coseno (tan x = sen x/cos x). 
 Estudiemos la función:
 
x2 - 4·x + 3
 
 (x - 1)·(x - 3)
 
(x - 1)·(x - 3)
 
F(x) =  
——————
 =
  ———————
 =
  ——————
  *NOTA
 
(x2 - 1)
 
 (x2 - 1)
 
(x - 1)·(x + 1)
 

 
 
 (x - 1)·(x - 3)
 
(x - 3)
 
    SI es asíntota
Lim F(x) =  
Lim
 ——————
 = Lim
  ————
 = ± ∞  
   
x→ -1±
x→ -1±
 (x2 - 1)
x→ -1±
(x + 1)
 
   

 
 
 (x - 1)·(x -3)
 
(x - 3)
 
    NO lo es
Lim F(x) =  
Lim
 ——————
 = Lim
  ————
 = - 1  
   
x→ 1±
x→ 1±
 (x2 - 1)
x→ 1±
(x + 1)
 
   
Como puede deducirse, esta función sólo tiene una asíntota vertical en x = -1.
En x = 1 tiene un punto de discontinuidad evitable (ambos límites laterales existen y son iguales). Además corta al eje X en x = 3 y tiene asíntota horizontal en y = 0.
*NOTA: El divisor común, (x -1), sólo se puede simplificar si x →1±. Nunca si x = 1. La función no existe para ese valor de la x, no pertenece a su dominio. No es verdad que 0/0=1 (no es número Real). (volver al párrafo de *Nota)

 En esta otra vemos dos asíntotas verticales: una en x = 1 (F(x) → - ∞ ) y otra en x = -1 (F(x) → + ∞  ).
Una horizontal en y = 0. El numerador se anula para x = 0 (no el denominador) por tantotiene punto de corte con X en ese punto. El dominio es todo R - {-1 , 1}.


ASÍNTOTA HORIZONTAL


  Muchas veces las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o disminuyendo) constantemente el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a estabilizarse, tendiendo a un número Real (que es el límite). En el caso mostrado se observa cómo la función tiende a uno cuando xtiende a números muy grandes  y cuando tiende a un número muy pequeño (negativos, F(x) tiende a cero por los negativos; por debajo del eje x).
 Otro caso es, , donde se observa cómo F(x) tiende a cero cuando x aumenta o disminuye indefinidamente (x → +∞ ► F(x) → 0-  y  x → -∞  ► F(x) → 0+).
  A la recta horizontal (de ecuación y = k) con:
k = lim F(x)     con k є R
          x→ ± ∞
se le llamaasíntota horizontal.  El valor (número Real) al que tiende F(x) al crecer (o decrecer) indefinidamente la x. En  la ecuación es y = 0 (el eje de las x, abscisa)
Cómo calcular este límite es el problema. El método a utilizar dependerá de la función y del tipo de indeterminación que dé cuando x tiende a valores cada vez mayores (o menores). Indeterminación quiere decir, por ejemplo, que cuando dividimos dosfunciones, que ambas tienden a crecer indefinidamente (o a hacerse cada vez más pequeñas → 0±), la división no nos da un número, es decir, no sabemos el valor del cociente entre dos términos que crecen indefinidamente o que tienden a anularse simultáneamente.
En el caso de cocientes de polinomios no es difícil intuir la solución al problema de la indeterminación. De todos los sumandos quecomponen un polinomio, el de mayor grado, marcará la tendencia de crecimiento frente a otro polinomio ya que los demás sumandos se podrán despreciar comparándolos con él.
Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, el primero crecerá más rápido que el segundo y el cociente tenderá a crecer indefinidamente, no teniendo asíntota. Si ocurre lo contrario, que el grado del numerador...