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CAPÍTULO 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD
INTRODUCCIÓN
Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a
menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y
cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. A
continuación consideramos algunos problemas típicos, ya formulados matemáticamente,
para loscuales estudiaremos técnicas numéricas de solución.
Problema 1.1 Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de y = 2sen x ,
y = e − x con x ∈[0, π] . ♦

Problema 1.2 Encontrar las raíces de la ecuación polinómica

x5 + 11x4 − 21x3 − 10 x2 − 21x − 5 = 0 ♦
Problema 1.3 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) El sistema lineal AX = b con
 2 −1 0

 −1 2 −1
A =  0 −12

 0 0 −1

0 0 0

0
0
−1
2
−1

0

0
0

−1

2

 3

 −2
b =  2

 −2

 1

b) El sistema no-lineal
 x2 + xy 3 = 9

2
 3x y − y3 = 4


♦

Problema 1.4 Dada la siguiente tabla de datos correspondiente a una cierta función y = f (x) ,
xk

f (xk )

−2

−1

0

1

2

3

−5

1

1

1

7

25

TABLA 1.1
encontrar el polinomio de menor grado que pase a través de los puntosdados.
.
.
Cuál será una estimación para los valores f (x) correspondientes a x = −15 y x = 15 ? ♦
Problema 1.5 Hallar el valor de cada una de las siguientes integrales:

2 MÉTODOS NUMÉRICOS
__________________________________________________________________________________
1

a)

∫
0

π
2

c)

∫
0

1

sen x
dx
x

b)

∫e

x2

dx

0

sen 2 x
dx
1−
4

3

d)

(elíptica)

1

∫ ln xdx

♦

2

Problema 1.6Resolver el problema de valor inicial
 d2 θ dθ
+ 16 sen θ = 0
 2+
 dt
dt

θ 0 = π , θ ′ 0 = 0
()
() 4


♦

En relación con los problemas anteriores, tenemos que:
En el problema 1.1, es necesario determinar los puntos de intersección de las gráficas de
y = 2sen x y y = e − x , para lo cual debemos resolver la ecuación 2 sen x = e − x y no
disponemos de un método algebraico para hacerlo.
En elproblema 1.2, se trata de hallar los ceros de un polinomio de grado 5 y, como sabemos,
sólo se conocen métodos algebraicos para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas de
grado menor o igual que 4.
En el problema 1.3, tenemos dos sistemas de ecuaciones: El de la parte a) es lineal y
conocemos métodos de solución (por ejemplo, el método de eliminación Gaussiana), sin
embargo, para sistemas detamaño mayor, no sólo es conveniente sino necesario
implementar tales métodos a través del computador (método numérico). En la parte b)
tenemos un sistema no-lineal y no conocemos métodos algebraicos generales para
resolverlo.
El problema 1.4 se puede resolver analíticamente (por interpolación), sin embargo para
determinar los coeficientes de dichos polinomios existen técnicas que permitenencontrarlos
rápidamente y que pueden implementarse en el computador.
El problema 1.5, corresponde a integrales definidas cuyo integrando tiene antiderivada que
no es elemental.
Finalmente, en el problema 1.6, la ecuación diferencial ordinaria
d2 θ
dt

2

+

dθ
+ 16 sen θ = 0 (ecuación de movimiento de un péndulo)
dt

es no-lineal (por la presencia de sen θ ) y no disponemos de un método analítico pararesolverla.

Capítulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 3
__________________________________________________________________________________

Los problemas anteriores sirven como motivación para el estudio de cinco grandes temas en
un primer curso de métodos numéricos: solución numérica de una ecuación no-lineal en
una variable, solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales y no-lineales,interpolación polinomial, integración numérica y solución numérica de problemas de valor
inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias.
Qué es un método numérico?
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de
manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente
aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo...