automatas

Función monótona
En matemáticas, una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente encálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientrasen cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamente decrecientes (o simplemente crecientes ydecrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

Sea

una función entre dos conjuntos P y Q, donde cada conjunto tiene un orden parcial (los dos se denotarán por ≤). En cálculo se habla defunciones entre subconjuntos de losreales, y el orden ≤ no es otro que el orden usual de la recta real, aunque esto no es esencial para la definición.
La función f es monótona si y sólo si x ≤ y implica f(x) ≤ f(y) (es decir, la función es creciente), o bien x ≤ y implica f(x) ≥ f(y) (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden.Función monótona creciente. Función monótona decreciente.





Función no monótona.

Función acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
El número k se llama cota superior.

Ejemplo

 k=0.135
Función acotada inferiormenteUna función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′.
El número k′ se llama cota inferior.

k′ = 2
Función acotada
Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.
k′ ≤ f(x) ≤ k

 k = ½        k′ = -½


Función lineal
La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen decoordenadas.
y = 2x
x
0
1
2
3
4
y = 2x
0
2
4
6
8

Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.Función identidad
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.


Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje desimetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primeracoordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)
 
Ejemplo 
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
xv = − (−4) / 2 = 2     yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1       
 V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
       
(3, 0)      (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)



Gráficas de funciones polinómicas de tercer grado

En elsiguiente cuadro se puede observar:
Las cúbicas: f(x)=ax3+bx2+cx+d son como sillas, unas con el asiento hundido y otras sin hundir, podemos observar que el signo de a decide si el respaldo de la silla está a la derecha o a la izquierda y todas son simétricas respecto del punto en el que la x vale -b/3a, punto de inflexión. 
En este caso, no basta con el coeficiente a del máximo grado para...