Autovalores Y Autevectores - Algebra Y Geometria Analitica

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA.

5- AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.

Apuntes de la Cátedra.

Alberto Serritella

Colaboraron: Cristian Mascetti
Vanesa Bergonzi

Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2012.

UNNOBA

Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.

Para mensajes: alberto_serritella@yahoo.com.ar

Autovalores y Autovectores:

(

)

Sea V = V , K, + , ⋅ espacio vectorial. Sea T : V → V Homorfismo.
Recordemos que:

r

r

r

T : V → V Homorfismo ∧ dim V ∈ N ⇒ ∃ A : ∀ u ∈ V : T (u ) = A ⋅ u

O sea, por ser la dimensión de V finita, toda transformación lineal de dicho espacio se
puede expresar por medio de una matriz. Además por tener dicha transformación lineal
origen y destino en un mismo espacio vectorial, la matriz resultaráser cuadrada,
verificándose:

dim V = o ( A) ,

siendo:

o ( A ) = orden de A

r
rr
Se observa que por ser T : V → V resulta ser A ⋅ u = T (u ) = v ∈ V

Definición de Autovalores y Autovectores:
r

∀ T : V → V Homomorfismo: ∀ v ∈ V : ∀ λ ∈ K :

r
rr
r
r
λ es autovalor ∧ v es autovector del Homomorfismo T ⇔ v ≠ 0 ∧ T (v ) = λ ⋅ v

De manera análoga se define:

r
: matrizcuadrada con: dim V = o( A) : ∀ u ∈ V : ∀ λ ∈ K :
r
rr
r
r
λ es autovalor ∧ v de A ⇔ v ≠ 0 ∧ A . v = λ ⋅ v

∀ A ∈K

n× n

En adelante sólo nos referiremos a autovalores y autovectores de matrices cuadradas.
Ejemplo 1:

Recordemos que, si ello no se presta a confusión, mantendremos la costumbre de
 v1 

r
 v2  r
identificar un vector v = (v1 ; v 2 ; ...; v n ) con elvector columna   = v T
M

v 
 n
y recíprocamente. Cumplida esta aclaración pasamos al ejemplo.

10 − 18 
A=
 6 − 11 




r
v = (x , y )

Sea el homomorfismo T : R 2 → R 2

r
r
∀ v = (x , y ) ∈ R 2 : T (v ) = T ( x , y ) = (10 x − 18 y ,6 x − 11 y )
que teniendo en cuenta la aclaración anterior también puede expresarse así:

 x  10 − 18   x  10 x − 18 y r
T (v ) = T   = 
 y   6 − 11  ⋅  y  =  6 x − 11 y 
  

 
  

r
Si v fuera un autovector (de la matriz y de la transformación lineal) para un
autovalor se cumpliría:

λ

 x λ x
r
r 10 x − 18 y 
r
T (v ) = A ⋅ v = 
 6 x − 11 y  = λ ⋅ v = λ ⋅  y  =  λ y  ⇒

 



 

(10 − λ )x − 18 y = 0
10 x − 18 y = λ x
⇒
⇒
6 x +(− 11 − λ ) y = 0
6 x − 11 y = λ y
rr
Que es un sistema homogéneo. Para que este sistema tenga solución no nula ( v = 0 es
solución) debe ser compatible indeterminado. Ello ocurre si su matriz tiene
determinante nulo.

 (10 − λ )
det 
6


 10 − λ
=
(− 11 − λ )
6

− 18

− 18
− 11 − λ

=

= (10 − λ ) ⋅ (− 11 − λ ) − 6 ⋅ (− 18) = −110 − 10λ + 11λ + λ2 + 108 =

= p (λ )= λ2 + λ − 2 = 0 ⇒ λ =
=

− 1 ± 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 2 ) − 1 ± 9
=
=
2
2

−1± 3  1
=
2
− 2

10 − 18 
Hemos calculado entonces que los autovalores de A = 

 6 − 11  son λ1 = 1 ∧ λ2 = −2 .


(10 − λ )x − 18 y = 0
Para λ1 = 1 el sistema 
6 x + (− 11 − λ ) y = 0
(10 − 1)x − 18 y = 0
queda así: 
6 x + (− 11 − 1) y = 0

9 x − 18 y = 0
o sea: 
6 x − 12 y = 0si dividimos la primer ecuación por 9 o la segunda por 6, ambas quedan así:
x − 2 y = 0

x − 2 y = 0

O sea que ambas se reducen a una misma ecuación:
x − 2y = 0 ⇒ x = 2y ⇔ 2y = x ⇔ y =

x
2

1
r  x  x 
r
  =  x  = x ⋅  1  como v1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 .
⇒ v1 =  


 y  2 
2
(10 − λ )x − 18 y = 0
De la misma forma para λ2 = −2 el sistema 
6 x + (− 11 − λ) y = 0
(10 − (− 2 ))x − 18 y = 0
12 x − 18 y = 0
queda así: 
o sea: 
6 x + (− 11 − (− 2 )) y = 0
6 x − 9 y = 0
si dividimos la primer ecuación por 6 o la segunda por 3, ambas quedan así:
2 x − 3 y = 0

2 x − 3 y = 0
O sea que ambas se reducen a una misma ecuación:
2x − 3y = 0 ⇒ 2x = 3 y ⇔ 3y = 2x ⇔ y =

1
 x  x 
r
⇒ v2 =   =  2  = x ⋅  2 
 y   x
...