Axiomas Y Teoremas

Los axiomas
Son las proposiciones básicas del sistema. Axioma viene del griego αξιωματα que significadignidades. Son las proposiciones más dignas, las primeras. Así las bautizó Euclides en susElementos. Antiguamente estos axiomas eran evidentes; es decir, su verdad se imponía inmediatamente a la mente. Son los llamados axiomas materiales.
En la actualidad, sin embargo, los axiomas se enunciancomo axiomas formales, como proposiciones cuya verdad no se plantea como problema, pero que se establecen como fundamento de todas las demás proposiciones del sistema formal axiomático.
Para hacernos una idea adecuada del sistema formal axiomático, pondremos como ejemplo, el del juego de ajedrez. Los axiomas son las reglas del juego, de las que no se pueden salir los jugadores, y, por tanto, enlos sistemas formales axiomáticos, los axiomas deben quedar bien establecidos para que se puedan deducir los teoremas con ausencia de contradicción.
Los teoremas
Son las proposiciones o tesis del sistema formal axiomático que se demuestran a partir de los axiomas, o a partir de otros teoremas ya demostrados.
Estructura de un sistema formal axiomático
 Parte morfológica</li>
1. Unconjunto de componentes primitivos.
2. Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes.
3. Un conjunto de reglas de formación expresivas de cómo a partir de los componentes primitivos se pueden construir nuevos componentes llamados derivados.
 Parte axiomática</li>
1. Un conjunto de axiomas.
2. Un conjunto de definiciones.
3. Un conjunto de reglas o criterios dededucción.
4. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.
Lo que se refiere a la parte morfológica, lo hemos estudiado en la Lógica proposicional. En cuanto a la parte axiomática, se han formulado diferentes grupos de axiomas como los de Lukasiewicz, los de Frege – Lukasiewicz, y los de Hilbert – Ackermann, que pasamos a exponer.
Axiomas
 A1: </li>
 A 2: </li>
 A 3: </li>
 A 4:  </li>
Definiciones
Tienen como fin establecer el significado de los operadores no primitivos o derivados.
 Df, 1: </li>
 Df, 2: </li>
 Df. 3: </li>
 Df. 4: </li>
Criterios de deducción
 D 1: A 1, A 2, A 3, A 4 son tesis.</li>
 D 2: Si  es una tesis y si  es una tesis, entonces  es unatesis (modus ponendo ponens).</li>
 D 3: Si una expresión lógica es una tesis y sustituimos en ella una proposición atómica por otra cualquiera, el resultado es una tesis.</li>
 D 4: Si  es una tesis, y si  es una tesis, entonces  es una tesis.</li>
 D 5: Nada es tesis si no es mediante los criterios: D 1, D 2, D 3 y D 4.</li> A partir de estos axiomas,definiciones y criterios de deducción se pueden ir demostrando los teoremas de la lógica proposicional. Por ejemplo:
 A partir de A 2, D 1, D 3, se obtiene:  T1.</li>
 A partir de A 1, T 1, D 1, D 4:  T2.</li>
 A partir de T 2, Df 1:  T3.</li>
 A partir de A 3, D 1, D 3 :  T4.</li>
 A partir de T 3, T 4, D 2 :  T5.</li> En el método matemático no existe un modeloúnico de sistema formal axiomático para toda la matemática. Cada una de sus partes, –según el organigrama anterior–, tiene su sistema formal axiomático. La teoría de los conjuntos utiliza los axiomas de Zermelo – Faenkel, o los de Neumann – Bernays – Gödel. La aritmética usa los de Peano, La geometría euclídea los de Hilbert, etc. Finalmente, para que un conjunto de axiomas esté bien construidotiene que cumplir los siguientes requisitos:
 Independencia: Ninguno de los axiomas puede ser deducido o demostrado a partir de los demás. Cada axioma ha de ser independiente.</li>
 Consistencia: Partiendo de los axiomas no debe ser posible demostrar un teorema y la negación del mismo. No se puede demostrar que 3 + 2 sea igual a 5, y que 3 + 2 sea distinto de 5.</li>
...