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Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas
 Sea E un conjunto no vacío, una función f

f : EE  E
se llama ley de composición interna (operación) sobre E. Además,
la imagen f(a,b) se llama el operado de a y b.
 Es usual representar las operaciones internas con algunos símbolos
especiales, en vez de letras, como *, , , entre otros.
 Por definición, si * es una ley decomposición interna sobre E, entonces
es cerrada sobre E, es decir, se cumple que

a, b  Ea  b  E 

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Estructuras Algebraicas (cont.)
 Si * es una ley de composición interna sobre E, se dice que (E,*) posee

una estructura algebraica.
 Una estructura algebraica es una n-tupla (a1,a2,...,an), donde a1 es
un conjunto dado no vacío, y {a2,...,an} un conjunto de operaciones
aplicablesa los elementos de dicho conjunto.
 Si * es una ley de composición interna sobre E, se dice que *:
 Es asociativa: para cualesquiera elementos del grupo no importa el
orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se
cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado.
Si a, b  E se cumple a  b c  a  b  c 

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Estructuras Algebraicas (cont.)
 Si* es una ley de composición interna sobre E, se dice que *:

 Posee elemento neutro o elemento identidad (comúnmente denotado como

e, letra inicial de la palabra alemana einheit, que significa "unidad"): existe un
elemento que al ser operado con cualquier otro, no lo modifica (como el cero en la
suma o el 1 en la multiplicación). La unicidad del elemento neutro es fácilmente
demostrable.Si e  a  E tal que a  e  e  a  a

.
 Tiene elementos opuestos o inversos: todos los elementos del grupo tienen
un elemento opuesto (o inverso), con el que al operarse dan por resultado el
elemento neutro e. El elemento inverso de uno dado es único.
Si a  E  b  E tal que a  b  b  a  e
en cuyo caso se escribe a 1  b

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Estructuras Algebraicas (cont.)
 Si * esuna ley de composición interna sobre E, se dice que *:

 Es conmutativa: para cualesquiera elementos del grupo no

importa el orden de los elementos siempre dará el mismo resultado.
Si a, b  E se cumple a  b  b  a

 Un elemento h es absorbente por la izquierda si h * a = h y lo es por

la derecha si a * h = h para todo a. Se dice que es el elemento
absorbente si lo es por laderecha y por la izquierda.

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Estructuras Algebraicas (cont.)
 En el caso que E sea un conjunto finito, es decir, E = {a1, a2, …,

an}, la operación * se puede representar en una tabla, en la cual
la entrada i,j denota el elemento ai * aj:
aj

…

a1

a1

a1 * a1

a2

a2 * a1

a2 * a2

…

a2 * aj

…

a2 * an

…

…

…

…

…

…

…

ai

ai * a1

ai *a2

…

ai * aj

…

ai * an

…

…

…

…

…

…

an
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a2

…

*

an * a1

an * a2

…

an * aj

…

…

an

…

an * an

Estructuras Algebraicas (cont.)

 Un elemento a es idempotente si a * a = a para todo a.

 Un elemento a es involutivo si a * a = e para todo a.
 Un elemento a es central si conmuta con todos los

elementos de E, el conjuntoformado por todos los
elementos centrales se llama el centro de E y se denota por
C(E).
 (C(E),*) es un subgrupo de (E,*).

C E   a  E ab  ba, b  E

Grupos
 Si G es un conjunto no vacío y * es una operación interna definida sobre G. Se dice

que (G,*) es:
 Un semigrupo si * es asociativa.
 Un monoide si es un semigrupo con elemento neutro.
 Un grupo si es un monoide quecumple la propiedad de los inversos, es decir,
(G,*) es un grupo si * es cerrada, asociativa, posee elemento neutro y cada
elemento tiene inverso.
 Un grupo abeliano o grupo conmutativo si es un grupo y se cumple la
conmutatividad. En el caso de que no sea un grupo, se dice que la estructura
algebraica es conmutativa.

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Grupos (cont.)
 Notaciones:

 La notación multiplicativa ....